排列组合十一个性质公式及证明

文章目录

• 排列数
• 组合数
• 求组合数常用公式
• 定义式
• 递推式
• 杨辉三角
• 组合数常用性质及证明
• 性质一
• 性质二
• 性质三
• 性质四(二项式定理)
• 性质五
• 性质六
• 性质七
• 性质八
• 性质九
• 性质十
• 性质十一

排列数

从$n$n个物品中不放回地依次选$m$m个物品，考虑顺序，有多少种方案，记作$A_n^m$Anm​
$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$Anm​=(n−m)!n!​

组合数

从$n$n个物品中不放回地依次选$m$m个物品，不考虑顺序，有多少种方案，记作$C_n^m$Cnm​
$C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}$Cnm​=m!∗(n−m)!n!​

求组合数常用公式

定义式

$C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}$Cnm​=m!∗(n−m)!n!​
当$n,m$n,m很大时，预处理阶乘和逆元，预处理$O(n)$O(n)，求组合数$O(1)$O(1)

递推式

$C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}=\frac{n!}{(m-1)!*(n-m+1)!}*\frac{n-m+1}{m}=C_n^{m-1}*\frac{n-m+1}{m}$Cnm​=m!∗(n−m)!n!​=(m−1)!∗(n−m+1)!n!​∗mn−m+1​=Cnm−1​∗mn−m+1​

杨辉三角

$C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}=\frac{(n-1)!*(n-m+m)}{m!*(n-m)!}$Cnm​=m!∗(n−m)!n!​=m!∗(n−m)!(n−1)!∗(n−m+m)​
$=\frac{(n-1)!*(n-m)}{m!*(n-m)!}+\frac{(n-1)!*m}{m!*(n-m)!}$=m!∗(n−m)!(n−1)!∗(n−m)​+m!∗(n−m)!(n−1)!∗m​
$=\frac{(n-1)!}{m!*(n-m-1)!}+\frac{(n-1)!}{(m-1)!*(n-m)!}$=m!∗(n−m−1)!(n−1)!​+(m−1)!∗(n−m)!(n−1)!​
$=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$=Cn−1m​+Cn−1m−1​
当模数不是质数的时候，预处理$O(n^2)$O(n2)，求组合数$O(1)$O(1)

组合数常用性质及证明

性质一

$C_n^m=C_n^{n-m}$Cnm​=Cnn−m​

证明：
法一：利用组合数意义理解
在$n$n个当中选$m$m个，相当于在$n$n个当中不选$n-m$n−m个
法二：公式表示
$C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}$Cnm​=m!∗(n−m)!n!​
$C_n^{n-m}=\frac{n!}{(n-m)!*(n-(n-m))!}=\frac{n!}{m!*(n-m)!}$Cnn−m​=(n−m)!∗(n−(n−m))!n!​=m!∗(n−m)!n!​

性质二

$C_{n+m+1}^m=\sum_{i=0}^mC_{n+i}^i$Cn+m+1m​=i=0∑m​Cn+ii​

证明：
利用画图以及杨辉三角得证

性质三

$C_n^m*C_m^r=C_n^r=C_{n-r}^{m-r}$Cnm​∗Cmr​=Cnr​=Cn−rm−r​

证明：
法一：利用组合数意义理解
在$n$n个当中选$m$m个，再在选出的$m$m个当中选$r$r个
相当于在$n$n个当中选$r$r个，再在剩下的$n-r$n−r个中选还需要的$m-r$m−r

法二：公式推导
$C_n^m*C_m^r=\frac{n!}{m!*(n-m)!}*\frac{m!}{r!*(m-r)!}=\frac{n!*m!}{m!*r!*(n-m)!*(m-r)!}$Cnm​∗Cmr​=m!∗(n−m)!n!​∗r!∗(m−r)!m!​=m!∗r!∗(n−m)!∗(m−r)!n!∗m!​
$=\frac{n!}{r!*(n-m)!*(m-r)!}=\frac{n!*(n-r)!}{r!*(n-m)!*(m-r)!*(n-r)!}$=r!∗(n−m)!∗(m−r)!n!​=r!∗(n−m)!∗(m−r)!∗(n−r)!n!∗(n−r)!​
$=\frac{n!}{r!*(n-r)!}*\frac{(n-r)!}{(m-r!)*(n-m)!}\ \ \ \ \ \{(n-r)-(m-r)=n-m\}$=r!∗(n−r)!n!​∗(m−r!)∗(n−m)!(n−r)!​     {(n−r)−(m−r)=n−m}
$=C_n^r*C_{n-r}^{m-r}$=Cnr​∗Cn−rm−r​

性质四(二项式定理)

$\sum_{i=0}^n\{C_n^i*x^i\}=(1+x)^n$i=0∑n​{Cni​∗xi}=(1+x)n
$\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\ \ \ (x=1)$i=0∑n​Cni​=2n   (x=1)

证明：
组合数意义理解
$(1+x)^n=(1+x)*(1+x)*...*(1+x)$(1+x)n=(1+x)∗(1+x)∗...∗(1+x)，$n$n个$(1+x)$(1+x)相乘
$(1+x)$(1+x)在乘法中的贡献相当于要么选$1$1，要么选$x$x
有$i$i个$(1+x)$(1+x)中选$x$x，产生的贡献就是$x^i$xi，剩下的$n-i$n−i个$(1+x)$(1+x)，产生的贡献是$1$1
在$n$n个中任意选$i$i个，相当于$C_n^i$Cni​

性质五

$\sum_{i=0}^n\{(-1)^i*C_n^i\}=0$i=0∑n​{(−1)i∗Cni​}=0

证明：
①：若$n$n为奇数
则$\sum_{i=0}^n$∑i=0n​共有$n+1$n+1项（偶数项），而$(-1)^i*C_n^i=(-1)^i*C_n^{n-i}$(−1)i∗Cni​=(−1)i∗Cnn−i​
因为$n$n为奇数，所以当$i$i为奇数时，$n-i$n−i为偶数，当$i$i为偶数时，$n-i$n−i为奇数
所以$i,n-i$i,n−i奇偶性不同，那么$(-1)^i+(-1)^{n-1}$(−1)i+(−1)n−1相当于$(-1)^{奇数次方}+(-1)^{偶数次方}=0$(−1)奇数次方+(−1)偶数次方=0
$(-1)^i*C_n^i+(-1)^{n-i}*C_n^{n-i}=0$(−1)i∗Cni​+(−1)n−i∗Cnn−i​=0
偶数项刚好每一对可以相互抵消，所以性质显然成立

②：若$n$n为偶数
$(-1)^0=(-1)^n=1$(−1)0=(−1)n=1，先把$i=0,i=n$i=0,i=n的情况拆出来，用杨辉三角展开中间项
$\sum_{i=0}^n\{(-1)^i*C_n^i\}=C_n^0+C_n^n+\sum_{i=1}^{n-1}\{(-1)^i*(C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i-1})\}$i=0∑n​{(−1)i∗Cni​}=Cn0​+Cnn​+i=1∑n−1​{(−1)i∗(Cn−1i​+Cn−1i−1​)}
$C_n^0+C_n^n+\sum_{i=0}^{n-2}\{(-1)^{i+1}*C_{n-1}^i\}+\sum_{i=1}^{n-1}\{(-1)^i*C_{n-1}^i\}$Cn0​+Cnn​+i=0∑n−2​{(−1)i+1∗Cn−1i​}+i=1∑n−1​{(−1)i∗Cn−1i​}
把前一个求和加上$(-1)^n*C_{n-1}^{n-1}$(−1)n∗Cn−1n−1​一项，后一个求和加上$(-1)^0*C_{n-1}^0$(−1)0∗Cn−10​

$C_n^0+C_n^n+\sum_{i=0}^{n-1}\{(-1)^i*C_{n-1}^i\}-C_{n-1}^{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}\{(-1)^i*C_{n-1}^i\}-C_{n-1}^0$Cn0​+Cnn​+i=0∑n−1​{(−1)i∗Cn−1i​}−Cn−1n−1​+i=1∑n−1​{(−1)i∗Cn−1i​}−Cn−10​
注意$n-1$n−1为奇数，奇数情况已经证明了，故这两个公式直接等于$0$0，删掉，原式转化为
$C_n^0+C_n^n-C_{n-1}^0-C_{n-1}^{n-1}=0$Cn0​+Cnn​−Cn−10​−Cn−1n−1​=0

性质六

$C_n^0+C_n^2+...=C_n^1+C_n^3+...=2^{n-1}$Cn0​+Cn2​+...=Cn1​+Cn3​+...=2n−1

证明：
用杨辉三角公式暴力展开寻找规律
①假设$n$n为奇数
$C_n^0+C_n^2+...+C_n^{n-1}=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+C_{n-1}^4+...+C_{n-1}^{n-2}+C_{n-1}^{n-1}$Cn0​+Cn2​+...+Cnn−1​=Cn−10​+Cn−11​+Cn−12​+Cn−13​+Cn−14​+...+Cn−1n−2​+Cn−1n−1​
$C_n^1+C_n^3+...+C_n^n=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+...+C_{n-1}^{n-1}+C_{n-1}^n$Cn1​+Cn3​+...+Cnn​=Cn−10​+Cn−11​+Cn−12​+Cn−13​+...+Cn−1n−1​+Cn−1n​
发现每一项都是相等的，第二个式子多出来的$C_{n-1}^n=0$Cn−1n​=0，所以相等得证
又根据性质四$\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n$∑i=0n​Cni​=2n，前两个式子相加刚好等于$\sum_{i=0}^nC_n^i$∑i=0n​Cni​，又相等，$/2$/2即为$2^{n-1}$2n−1
②假设$n$n为偶数
$C_n^0+C_n^2+...+C_n^n=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+C_{n-1}^4+...+C_{n-1}^{n-1}+C_{n-1}^{n}$Cn0​+Cn2​+...+Cnn​=Cn−10​+Cn−11​+Cn−12​+Cn−13​+Cn−14​+...+Cn−1n−1​+Cn−1n​
$C_n^1+C_n^3+...+C_n^{n-1}=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+...+C_{n-1}^{n-2}+C_{n-1}^{n-1}$Cn1​+Cn3​+...+Cnn−1​=Cn−10​+Cn−11​+Cn−12​+Cn−13​+...+Cn−1n−2​+Cn−1n−1​
仍然两两对应相等，第一个式子多出来的$C_{n-1}^n=0$Cn−1n​=0，后面的方法与奇数情况一样，不赘述

性质七

$C_{n+m}^r=\sum_{i=0}^{min(n,m,r)}\{C_n^i*C_m^{r-i}\}$Cn+mr​=i=0∑min(n,m,r)​{Cni​∗Cmr−i​}
$C_{n+m}^n=C_{n+m}^m=\sum_{i=0}^{min(n,m)}\{C_n^i*C_m^i\},(r=n||r=m)$Cn+mn​=Cn+mm​=i=0∑min(n,m)​{Cni​∗Cmi​},(r=n∣∣r=m)

证明：
用组合数意义理解
把$n+m$n+m个分成$n$n个一组，$m$m个一组，总共选$r$r个，相当于$n$n个中选$i$i个，$m$m个中选$r-i$r−i个

性质八

$m*C_n^m=n*C_{n-1}^{m-1}$m∗Cnm​=n∗Cn−1m−1​

证明：
$m*C_n^m=m*\frac{n!}{m!*(n-m)!}=n*\frac{(n-1)!}{(m-1)!*(n-m)}=n*C_{n-1}^{m-1}$m∗Cnm​=m∗m!∗(n−m)!n!​=n∗(m−1)!∗(n−m)(n−1)!​=n∗Cn−1m−1​

性质九

$\sum_{i=0}^n\{C_n^i*i\}=n*2^{n-1}$i=0∑n​{Cni​∗i}=n∗2n−1

**证明：**咕咕咕咕咕

性质十

$\sum_{i=0}^n\{C_n^i*i^2\}=n*(n+1)*2^{n-2}$i=0∑n​{Cni​∗i2}=n∗(n+1)∗2n−2

性质十一

$\sum_{i=0}^n\{(C_n^i)^2\}=C_{2*n}^n$i=0∑n​{(Cni​)2}=C2∗nn​