背景：神经网络的起源是人们想尝试设计出模仿大脑的算法，它的理念就是，如果我们想要建立学习系统，那为什么不去模仿我们所认识的，最神奇的学习机器，人类的大脑呢？
神经网络逐渐兴起于20世纪80、90年代，应用得非常广泛，但由于各种原因，在90年代的后期应用减少了。
再次兴起的原因之一是神经网络的计算量较大，因此，大概到了近些年，计算机的运行速度变快，才足以运行大规模的神经网络。
0、如何表示神经网络？
先来看单个神经元在大脑中是什么样的：
神经元是大脑中的细胞，其中很多输入通道叫做树突（Dendrite）（可以把它们想象成输入电线），它们接收来自其他神经元的信息。神经元有一条输出通道叫做轴突，这条输出通道是用来给其他神经元传递信号或者传送信息的。
简而言之，神经元是一个计算单元，它从输入通道接受一定数目的信息，并做一些计算，然后将结果通过它的轴突传送到其他节点或者大脑中的其他神经元。
在人工神经网络里，我们将使用一个很简单的模型来模拟神经元的工作，我们将神经元模拟成一个逻辑单元：
黄色圆圈类似于神经元细胞体的东西，然后我们通过输入通道（树突）传递给它一些信息，然后神经元做一些计算，并通过它的输出通道（轴突）输出计算结果。
这样的图表表示 :
通常x和θ是参数向量:
当绘制一个神经网络时，通常只绘制输入节点x1、x2、x3，有必要的时候，会增加一个额外的节点x0，这个x0节点有时也被称作偏置单元或偏置神经元：
但因为x0总是等于1，所以有时候会画出它，有时候不会画出，这取决于在具体例子中加上x0是不是表示起来更方便。
θ为模型的参数（或称为权重）。
在神经网络术语中，**函数是指代非线性函数g(z)的另一个术语:
这个图代表单个的神经元：
神经网络其实就是一组神经元连接在一起的集合：
这里有3个神经元，在最后一层有第三个节点，该节点输出假设函数h(x)计算的结果。
关于神经网络的术语：
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网络中的第一层也被称为输入层，因为我们在这一层输入特征x1、x2、x3。
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最后一层也称为输出层，因为这一层的神经元输出假设的最终计算结果。
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任何非输入层或非输出层的层就被称为隐藏层，在监督学习中，你能看到输入，也能看到正确的输出，而隐藏层的值在训练集里是看不到的，它的值不是x也不是y，所以我们叫它隐藏层。
1、逐步分析神经网络具体的计算步骤：
这里使用a^(j)_i来表示第j层第i个神经元（或单元）的**项。
所谓**项是指由一个具体神经元计算并输出的值。
此外，神经网络被这些矩阵参数化，θ^j就是权重矩阵，它控制比如说从第一层到第二层或者第二层到第三层的映射。
这就是这张图表示的计算：
举个例子，a^(2)_1等于sigmoid函数（或者说sigmoid**函数，也叫做logistic**函数）作用在这种输入的线性组合上的结果：
在这里，我们有三个输入单元和三个隐藏单元，θ ^(1) 就是控制着从三个输入单元到三个隐藏单元的映射的参数矩阵，因此θ^(1)就是一个3x4矩阵。
更一般地，如果一个网络在第j层有s_j个单元，在j+1层有s_j+1个单元，那么矩阵θ^(j)即控制第j层到第j+1层映射的矩阵，它的维度为s _(j+1)x(s_j+1)。
最后在输出层还有一个单元，它计算h(x)：
θ^(2)是参数矩阵（权重矩阵），该矩阵控制从第二层的3个单元到第三层的1个单元的映射。
总结一下，这里讲解了如何定义一个人工神经网络，其中的神经网络定义了函数h，从输入到输出的映射，这些假设被参数化，将参数标记为大写的Θ，改变Θ，就能得到不同的假设，有不同的函数。以上就是怎么从数学上定义神经网络的假设。