11. 采样与Nyquist's Theorem [学习笔记]

在实际生活中，我们研究的频率往往在一定范围内，比如人的耳朵的声音范围就在20～20000Hz之间，我们可以通过滤波器等手段得到我们需要的频率。而对于某时域函数f(t)$f(t)$，若Ff(s)=0,s≥B$\mathcal{F}f(s)=0,s\ge B$，则满足条件的最小B$B$就被称为带宽，如下图所示

设p=2B$p=2B$，我们就可以用Шp${Ш}_p$函数将Ff$\mathcal{F}f$周期化（运用周期性），并用矩形函数切出最中间的一块，可以重新得到Ff$\mathcal{F}f$，即：

Πp(Ff∗Шp)=Ff(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathrm{\Pi }}_p\left(\mathcal{F}f\ast {Ш}_p\right)=\mathcal{F}f\end{array}$$

如图所示：

这么做有什么用呢？接下来我们对(1)$(1)$式的两边同时取傅里叶逆变换，根据傅里叶变换的卷积性，有

F−1Ff=F−1(Πp(Ff∗Шp))=(F−1Πp)∗(F−1(Ff∗Шp))=(F−1Πp)∗((F−1Ff)(F−1Шp))=(F−1Πp)∗(f⋅(F−1Шp))$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}f& ={\mathcal{F}}^{-1}\left({\mathrm{\Pi }}_p\left(\mathcal{F}f\ast {Ш}_p\right)\right)\\ & =\left({\mathcal{F}}^{-1}{\mathrm{\Pi }}_p\right)\ast \left({\mathcal{F}}^{-1}\left(\mathcal{F}f\ast {Ш}_p\right)\right)\\ & =\left({\mathcal{F}}^{-1}{\mathrm{\Pi }}_p\right)\ast \left(\left({\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}f\right)\left({\mathcal{F}}^{-1}{Ш}_p\right)\right)\\ & =\left({\mathcal{F}}^{-1}{\mathrm{\Pi }}_p\right)\ast \left(f\cdot \left({\mathcal{F}}^{-1}{Ш}_p\right)\right)\end{array}$$

根据前面的文章中对矩形函数及Ш函数的讨论，可得：

f(t)=(p⋅sinc(pt))∗(f(t)(1pШ1p(t)))=p⋅1p(sinc(pt))∗(f(t)Ш1p(t))=sinc(pt)∗(∑k=−∞∞f(t)δ(x−kp))=∑k=−∞∞(sinc(pt)∗(f(t)δ(x−kp)))$$\begin{array}{rl}f(t)& =\left(p\cdot sinc\left(pt\right)\right)\ast \left(f(t)\left(\frac{1}{p}{Ш}_{\frac{1}{p}}(t)\right)\right)\\ & =p\cdot \frac{1}{p}\left(sinc\left(pt\right)\right)\ast \left(f(t){Ш}_{\frac{1}{p}}(t)\right)\\ & =sinc\left(pt\right)\ast \left(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\delta \left(x-\frac{k}{p}\right)\right)\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left(sinc\left(pt\right)\ast \left(f(t)\delta \left(x-\frac{k}{p}\right)\right)\right)\end{array}$$

接下来，运用δ$\delta$函数的乘积性质可得：

f(t)=∑k=−∞∞(sinc(pt)∗(f(kp)δ(x−kp)))$$f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left(sinc\left(pt\right)\ast \left(f\left(\frac{k}{p}\right)\delta \left(x-\frac{k}{p}\right)\right)\right)$$

我们发现在求和项中f(kp)$f\left(\frac{k}{p}\right)$只是函数f(t)$f(t)$在t=kp$t=\frac{k}{p}$处的值，是一个常数，因此可以从卷积中提出来，再运用δ$\delta$函数的卷积性质，就有：

f(t)=∑k=−∞∞f(kp)(sinc(pt)∗δ(x−kp))=∑k=−∞∞f(kp)sinc(p(t−kp))(2)$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\frac{k}{p}\right)\left(sinc\left(pt\right)\ast \delta \left(x-\frac{k}{p}\right)\right)\\ \text{(2)}& & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\frac{k}{p}\right)sinc\left(p\left(t-\frac{k}{p}\right)\right)\end{array}$$

(1)$(1)$(2)$(2)$式是密切相关的，总的来说，若信号的带宽为B$B$，令p=2B$p=2B$，则

Ff=Πp(Ff∗Шp)$$\mathcal{F}f={\mathrm{\Pi }}_p\left(\mathcal{F}f\ast {Ш}_p\right)$$

⇓$$\Downarrow$$

f(t)=∑k=−∞∞f(kp)sinc(p(t−kp))$$f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\frac{k}{p}\right)sinc\left(p\left(t-\frac{k}{p}\right)\right)$$

这就是采样公式。

---

接下来说一下Nyquist’s Theorem，也被称为采样定理。

采样频率大于信号中最高频率fmax的2倍时，采样之后的数字信号才能完整地保留原始信号中的信息

上面提到的p=2B$p=2B$常被我们称为Nyquist frequency，即当频率大于p$p$时，我们的采样才是可靠的，不然就会发生混叠（aliasing），在这里我们用直观的方式说明一下它的正确性：

1. 频域

   当我们选取的采样频率p′<2B$p^{{}^{\prime }}<2B$时，Ff∗Шp′$\mathcal{F}f\ast {Ш}_{p^{{}^{\prime }}}$的图像就会发生混叠，如下图

   

   显然此时我们再用矩形函数截取的中间部分已经不再是原来的函数图像了，即

   Ff≠Πp′(Ff∗Шp′)$$\mathcal{F}f\ne {\mathrm{\Pi }}_{p^{{}^{\prime }}}\left(\mathcal{F}f\ast {Ш}_{p^{{}^{\prime }}}\right)$$

   这就是混叠，此时我们还原出的信号已经不可靠了，发生了失真

2. 时域

   从时域来看，由于频率是有限的，因而构成傅里叶级数的正弦（或余弦）函数也是有限的
   不难发现，如果取样频率高于最高频率的两倍，那么也一定高于其他频率的两倍
   我们假定如下曲线为频率最高的那条曲线

   

   我们对其以两倍频率进行取样

   

   

   可以发现，无论取样的初始位置如何，只要我们以最简单的三角函数去拟合，总能还原为一开始的函数

   但是当我们用小于最高频率两倍的频率采样，则采样并经过变换之后可以得到下图

   

   显然信号失真了

   因此，要保证信号完整还原，我们需要将采样频率设置为最高频率的两倍以上。

（本文部分图片来源于wikipedia）