引理1：如果有n×n数字矩阵使
则A与B相似。
证明：因它又与
相等，进行比较后应有
因此
而
故A与B相似。
引理2：对于任何不为零的n×n数字矩阵A和λ-矩阵与
一定存在λ-矩阵
与
以及数字矩阵
和
使
定理7
设A,B使数域P上两个n×n矩阵，A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和
等价。
注：矩阵A的特征矩阵的不变因子简称为A的不变因子。
推论：矩阵A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。
n×n矩阵的特征矩阵的秩一定是n .因此，n×n矩阵的不变因子总是有n个，并且，它们的乘积等于这个矩阵的特征多项式。不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把线性变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩阵的选取无关）定义为此线性变换的不变因子。