线性变换

线性变换

• 什么是线性变换？
• 线性变换的矩阵表示
• 缩放变换
• 旋转变换

什么是线性变换？

假设有一数学函数$f$f，使得三维向量$\vec v=(x,y,z)$v=(x,y,z),有$f(\vec v) = f(x, y, z) = (x',y',z')$f(v)=f(x,y,z)=(x′,y′,z′)。那么，如果$f$f满足：

1. $f(\vec u + \vec v) = f(\vec u) + f(\vec v)$f(u+v)=f(u)+f(v)
2. $f(k \vec v) = kf(\vec v)$f(kv)=kf(v)

那么，称$f$f为线性变换。

线性变换的矩阵表示

$\begin{aligned} f(\vec v) &= f(x \vec i + y \vec j + z \vec k) \\ &= f(x \vec i) + f(y \vec j) + f(z \vec k) \\ &= xf(\vec i) + yf(\vec j) + zf(\vec k) \\ &= [x, y, z] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) \\ f(\vec j) \\ f(\vec k) \end{bmatrix} \end{aligned}$f(v)​=f(xi+yj​+zk)=f(xi)+f(yj​)+f(zk)=xf(i)+yf(j​)+zf(k)=[x,y,z]⋅⎣⎡​f(i)f(j​)f(k)​⎦⎤​​

缩放变换

易知，缩放变换$S(\vec v) = S(x, y, z) = (s_x x, s_y y, s_z z)$S(v)=S(x,y,z)=(sx​x,sy​y,sz​z)。那么，我们尝试证明一下它是线性变换：
$\begin{aligned} S(\vec u + \vec v) &= S(u_x+v_x, u_y+v_y, u_z+v_z) \\ &= (s_x(u_x+v_x), s_y(u_y+v_y), s_z(u_z+v_z)) \\ &= (s_xu_x + s_xv_x, s_yu_y + s_yv_y, s_zu_z + s_zv_z) \\ &= (s_xu_x, s_yu_y, s_zu_z) + (s_xv_x, s_yv_y, s_zv_z) \\ &= S(\vec u) + S(\vec v) \end{aligned}$S(u+v)​=S(ux​+vx​,uy​+vy​,uz​+vz​)=(sx​(ux​+vx​),sy​(uy​+vy​),sz​(uz​+vz​))=(sx​ux​+sx​vx​,sy​uy​+sy​vy​,sz​uz​+sz​vz​)=(sx​ux​,sy​uy​,sz​uz​)+(sx​vx​,sy​vy​,sz​vz​)=S(u)+S(v)​

$\begin{aligned} S(k\vec v) &= S(kv_x, kv_y, kv_z) \\ &= (ks_xv_x, ks_yv_y, ks_zv_z) \\ &= k(s_xv_x, s_yv_y, s_zv_z) \\ &= kS(\vec v) \end{aligned}$S(kv)​=S(kvx​,kvy​,kvz​)=(ksx​vx​,ksy​vy​,ksz​vz​)=k(sx​vx​,sy​vy​,sz​vz​)=kS(v)​

综上，我们证明了缩放变换是线性变换。由之前线性变换的矩阵表示，我们可以推导缩放变换的矩阵表示为
$\begin{bmatrix} S(\vec i) \\ S(\vec j) \\ S(\vec k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix}$⎣⎡​S(i)S(j​)S(k)​⎦⎤​=⎣⎡​sx​00​0sy​0​00sz​​⎦⎤​

旋转变换

我们定义旋转变换为将一个向量$\vec v$v绕任意轴$\vec n$n顺时针旋转$\theta$θ角度，如图所示：

由图可知，我们要求的就是将向量$\vec v$v绕向量$\vec n$n旋转$\theta$θ角度后得到的$\vec v'$v′。首先，我们注意到在旋转过程中，与旋转轴平行的向量是不参与旋转过程的，只有与旋转轴垂直的向量在真正旋转。因此可以将向量$\vec v$v分解为与$\vec n$n平行的向量$\vec v_\parallel$v∥​和垂直的向量$\vec v_\perp$v⊥​。即：
$\vec v = \vec v_\parallel + \vec v_\perp$v=v∥​+v⊥​
那么
$\vec v' = \vec v_\parallel + \vec v'_\perp$v′=v∥​+v⊥′​
其中，平行向量$\vec v_\parallel$v∥​是向量$\vec v$v在旋转轴$\vec n$n上的投影。这里假定，旋转轴向量$\vec n$n是归一化过的，即单位向量。由向量投影的定义，可得到
$\vec v_\parallel = (\vec v \cdot \vec n) \vec n$v∥​=(v⋅n)n
进而可得
$\vec v_\perp = \vec v - \vec v_\parallel = \vec v - (\vec v \cdot \vec n) \vec n$v⊥​=v−v∥​=v−(v⋅n)n
接下来，我们只要求得旋转后的$\vec v'_\perp$v⊥′​即可。注意到已知的$\vec v_\perp$v⊥​，且这两个向量都位于同一个圆的旋转平面上，因此只要再得到一个垂直于$\vec v_\perp$v⊥​的向量$\vec w$w，且向量$\vec w$w与这两个向量共面，就可以通过旋转角度$\theta$θ算出向量$\vec v'_\perp$v⊥′​了：
$\vec v'_\perp = \vec v_\perp \cdot cos\theta + \vec w \cdot sin\theta$v⊥′​=v⊥​⋅cosθ+w⋅sinθ
那么，怎样的$\vec w$w是满足以上条件的呢？注意到向量的叉积的几何意义：两向量的叉积后得到的向量与这两个向量是垂直的。所以，我们令
$\vec w = \frac{|\vec v_\perp|}{|\vec n \times \vec v|} \cdot (\vec n \times \vec v)$w=∣n×v∣∣v⊥​∣​⋅(n×v)
向量前面的系数是为了让向量的模与$\vec v_\perp$v⊥​相等。这样就求出了满足条件的$\vec w$w。特别地，由向量叉积的定义，可以将上式简化为
$\vec w = \frac{|\vec v_\perp|}{|\vec n| |\vec v| sin\theta} \cdot \ (\vec n \times \vec v)$w=∣n∣∣v∣sinθ∣v⊥​∣​⋅ (n×v)
由图可知，$|\vec v_\perp| = |\vec v| sin\theta$∣v⊥​∣=∣v∣sinθ，而向量$\vec n$n是单位向量，所以得到：
$\vec w = \vec n \times \vec v$w=n×v
综合以上若干等式，求出最终的$\vec v'$v′为
$\vec v' = (\vec v \cdot \vec n) \vec n + (\vec v - (\vec v \cdot \vec n) \vec n)cos\theta + (\vec n \times \vec v)sin\theta$v′=(v⋅n)n+(v−(v⋅n)n)cosθ+(n×v)sinθ
回到线性变换的定义来，旋转变换$R(\vec v) = R(x, y, z)$R(v)=R(x,y,z)。将其代入上式，可以得到
$R(x,y,z) = (r_{11}x + r_{21}y + r_{31}z, r_{12}x + r_{22}y + r_{32}z, r_{13}x + r_{23}y + r_{33}z)$R(x,y,z)=(r11​x+r21​y+r31​z,r12​x+r22​y+r32​z,r13​x+r23​y+r33​z)
根据线性变换的定义，容易证明旋转变换是一种线性变换。那么，旋转变换的矩阵表示为：
$\begin{bmatrix} R(\vec i) \\ R(\vec j) \\ R(\vec k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + (1 - c)x^2 & (1-c)xy + sz & (1-c)xz - sy \\ (1-c)xy - sz & c+(1-c)y^2 & (1-c)yz + sx \\ (1-c)xz + sy & (1-c)yz - sx & c+(1-c)z^2 \end{bmatrix}$⎣⎡​R(i)R(j​)R(k)​⎦⎤​=⎣⎡​r11​r21​r31​​r12​r22​r32​​r13​r23​r33​​⎦⎤​=⎣⎡​c+(1−c)x2(1−c)xy−sz(1−c)xz+sy​(1−c)xy+szc+(1−c)y2(1−c)yz−sx​(1−c)xz−sy(1−c)yz+sxc+(1−c)z2​⎦⎤​
其中，$c=cos\theta, s = sin\theta, x,y,z$c=cosθ,s=sinθ,x,y,z分别为向量$\vec n$n的三个分量。