离散数学-第合论知识总结

文章目录

• 前言
• 第合论
• 集合与关系
• 基本概念
• 集合的运算
• 集合的运算性质及定律
• 笛卡尔积的性质
• 关系的表示
• 关系的基本运算
• 关系的性质
• 闭包的计算方法
• 特殊元素

前言

最近在期末复习离散数学，对照PPT整理了第合论的知识，内容还是很全面。前几天发布了数理逻辑的知识点。有需要的小伙伴自取哦。如果你觉得对你有帮助或者觉得博主码字很辛苦（哭），欢迎点赞啊！没有也没事（头秃）。有补充或者错误欢迎讨论，共同进步。
数理逻辑知识点总结

第合论

集合与关系

基本概念

1. 集合：一些对象的整体就称为一个集合，这个整体的每个对象称为该集合的一个元素。用大写字母表示集合，小写字母表示元素。集合中的元素是无序的不重复的。

2. 集合的表示方法：列举法，叙述法，枚举法，文氏图

3. 子集：设AB是任何两个集合，假如A的每一个元素都是B的成员，则称A为B的子集，、逼格额A包含于B内，或者B包含A，记为A$\subseteq $B.如果集合A的每一个元素都属于B。但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，即A$B.如果集合A的每一个元素都属于B。但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，即A\subset$B，且A不等于B，记为A$B，且A不等于B，记为A\neq$B。

4. 基数：集合中元素的个数

5. 子集个数：$2^{n}$2n

6. 平凡子集：集合本身和空集。

7. 集合相等：两个集合A和B相等，当且仅当它们具有相同的元素，记为A=B，即a属于集合A当且仅当a属于集合B。集合相等的充要条件是两个集合互为子集。

8. 空集：不包含任何元素的集合，记为$\emptyset$∅

   • 空集是任何集合的子集

9. 全集：在一定范围内，如果所有的集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集。

10. 补集：集合A的补集记为~A，是那些不属于集合A的元素构成的集合。通常是是存在一个全集的情况下讨论

11. 幂集：集合A的幂集，记为P（A），是A所有子集所构成的集合。

12. 序偶：由两个元素x，y按照一定的次序组成的二元组称为有序偶对（序偶），记作<x,y>，其中x为第一个元素，y是第二个元素。序偶常常表达两个客体之间的关系。

13. n重有序组（n元组）：由你个元素按照一定的次序组成的n元组称为n重有序组，记作<a1,a2,….,an>。

14. 笛卡尔积：设AB是两个集合，若序偶的第一个成员是A的元素，第二个成员是B的元素，所有这样的序偶的集合叫做A和B的笛卡尔积或者直积，记作A$\times$×B

15. 关系：AB为非空集合称A$\times$×B的任意子集R为从A到B的一个二元关系，简称关系，A为R的前域，B为R的后域。A=B，称R是A上的一个二元关系。若<x,y>$\in$∈R，记为xRy，读作x对y有关系R。由A到B的关系共有$2^{|A|\times|B|}$2∣A∣×∣B∣个

16. 特殊关系：全域关系：A$\times$×B，空关系，恒等关系：设Ix是X上的二元关系且满足Ix = {<x,x>|x$\in$∈X}，则称Ix是X上的恒等关系。

17. 定义域和值域：设R是从A到B的二元关系，C={x|x$\in$∈A,$\exist$∃y$\in$∈B,<x,y>$\in$∈R}第一位置出现的所有元素为定义域，记为C=domR.第二位置出现的所有元素为值域，记为D=ranR。域fldR=domR$\cup $ranR

18. 闭包：设R是X上的二元关系，如果另一个关系R‘满足：

    1. R’是自反（对称，传递）

    2. R$\subseteq $R’

    3. 对于A上的、forall自反的（对称的，传递的）关系R‘’,若R$\subseteq $R’‘,则R‘$R’‘,则R‘\subseteq $R’‘

       则称R’是R的自反（对称，传递）闭包。

       换句话说，R的自反闭包是包含R的最小的自反的关系。通常用r®,s®,t®表示R的自反，对称，传递闭包

19. 集合的划分和覆盖：设A是一个集合，A1，……Am是A的任何m个非空子集，如果它们满足：

    • 它们的并集=A则称集合{A1，…，Am}为A的一个覆盖
    • 对一切的i$\neq$​=j,都有$A_{i}\cap A_{j}=\emptyset $则称集合{A1，…，Am}为集合A的一个划分，A1，…Am叫做这个划分的块
    • 若{A1,A2,…,Ar}、并为大哥{B1，…，Bs}是同一集合A的两种划分，则其中所有Ai$\cap $Bj$Bj\neq \emptyset $组成的集合称为原来两种划分的交叉划分。
    • 给定X的、forall两个划分，若对于每个$A_{}i均有B_{k}$A​i均有Bk​,使$A_{i}\subseteq B_{k}$Ai​⊆Bk​,z则{A1,…,Ar}称为是{b1,b2,…,Bs}的加细

20. 等价关系：设R是定义在集合A上的关系，如果R是自反的，对称的，传递的，则称关系R为A上的等价关系。

21. 等价类：设R是集合A上的等价关系，对任意x$\in$∈A，称集合[x]$_{R}$R​:

    $[x]_{R}={y|(y\in A)\land (<x,y>\in R)}$[x]R​=y∣(y∈A)∧(<x,y>∈R)

    为x关于R的等价类，或者叫作由x生产的一个R的等价类。其中x称为[x]$_{R}$R​的生成元。

22. 商集：设R是集合A上的等价关系，由R确定的一切等价类的集合，称为集合A上的关于R的商集，记为A/R。

23. 等价和划分之间的关系：设R是集合A上的等价关系，则此关系R可唯一的确定一个划分，此划分正好是集合A上关于R的商集。

24. 相容关系：设R是定义在集合A上的关系，如果R是自反的、对称的，则称此关系R为A上的相容关系。

25. 设r是集合A上的相容关系，如C$\subseteq $A，如果对于C中任何两个元素a1和a2都有a1Ra2，称C是由相容关系R产生的相容类。

26. 设R是集合A上的相容关系，不能真包含在任何其他相容类中的相容类，称作最大相容类，记作Cr

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27. 偏序关系：R是A上的二元关系，如果R满足：自反，反对称，传递。则称R是A上的偏序关系，记作$\leq$≤

28. 偏序集：集合A连同A上的偏序关系R一起成为一个偏序集，记为<A,R>

29. 可比：设<A,$\leq$≤>是偏序集，x,y$\in$∈A，若有x$\leq y\lor y\leq x$≤y∨y≤x则称x、并为大哥y是可比的

30. 若xy可比，且$x\leq y和x\ne y$x≤y和x​=y，但不存在z$\in$∈A，使得$x\leq z\land z\leq y$x≤z∧z≤y，则称y盖住x。

31. 哈斯图的画法：

32. 设<A,$\leq$≤>是偏序集，$B \subseteq A$B⊆A,若B中的每两个元素都有关系，则称B为链，若B中的每两个元素都无关，则称B为反链。

33. 全序关系：设<A,$\leq$≤>为偏序集，若A是一个链，则称$\leq$≤为A上的全序关系，此时称<A,$\leq$≤>为全序集。也就是集合A中任意的两个元素都有关系。

34. 良序关系：设<A,$\leq$≤>是一偏序集，若A的任何一个非空子集都有最小元素，则称“$\leq$≤”为良序关系，<A,$\leq$≤>是良序集

35. 良序集是全序集。全序集未必是良序集。有限的全序集是良序集

36. 函数：设X和Y是任意两个集合，而f是X到Y的一个二元关系，如果对于每一个x$\in$∈X，有唯一的y$\in$∈Y,使得<x,y>$\in$∈f,则称f是从X到Y的一个函数关系（映射）,记为f:X$\rightarrow$→Y。若<x,y>$\in$∈f,通常y记为f(x)，称x为自由变元，称y为x在函数f下的象

37. 定义域就是前面有的，值域就是后边有的。说的这么复杂，靠。

38. 从A到B的一切函数构成的集合记为$B^{A}$BA

39. 函数和关系的差别：函数是一种特殊的关系，它与一般关系比较有如下差别：

    • $A\times B$A×B的任何一个、素白色特权，都是A到B的二元关系，因此，从A到B的不同关系有$2^{|A|\times|B|}$2∣A∣×∣B∣个；但是从A到B的不同的函数却仅有$|B|^{|A|}$∣B∣∣A∣个
    • 函数的定义域是X，而不能是X的某个真子集
    • 每个函数中的序偶的第一个元素一定是互补相同的

40. 特殊函数：

    设f是从A到B的函数，若f满足：

    • ranf=B，则称f为从A到B的满射。
    • 若对任意x1,x2$\in$∈A，且x1不等于x2，则f(x1)$\leq$≤f(x2)，则称f为从A到B的单射
    • 若f既是从A到B的满射，又是单射，则称f为从A到B的双射。
    • 设f是A到B的双射，则称B$\rightarrow$→A的双射f$^{c}$c为f的逆函数，记作$f^{-1}$f−1
    • 设函数f：X$\rightarrow$→Y,g:W$\rightarrow$→Z,若f(X)$\subseteq $W,则$W,则g\circ f={<x,z>|x\in X\land z\in Z\land (\exist y)(y\in Y \land y=f(x) \land z=g(y))}$称g在f的左边可复合。当函数$称g在f的左边可复合。当函数g\circ f$作用于X中的任意一个元素x时，可记为$作用于X中的任意一个元素x时，可记为g\circ f(x)=g(f(x))$.
    • 常函数：如果、exist是某个y0$\in$∈Y,对于每个x$\in$∈X都有f(x)=y0,即f(x)={y0}
    • 如果Ix=<x,x>,则称函数为恒等函数

41. 定理：

    • 另X和Y为有限集，若|X|=|Y|，则f:X$\rightarrow$→Y是单射的，当且仅当它是一个满射。
    • 设f和g分别是A到B和从B到C的函数，则：
    • 如果f，g是满射，则复合函数$g\circ f$g∘f也是从A到C的满射
    • 如果f，g是单射，则$g\circ f$g∘f也是从A到C单射
    • 如果f，g是双射，则$g\circ f$g∘f也是从A到C的双射
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集合的运算

• 集合的并：设任意集合A和B，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合S，称为集合A和B的并集记为$A \bigcup B$A⋃B
• 集合的交：设任意集合A和B，由集合A和B的所有共同元素组成的集合称为A和B的交集，记为$A \bigcap B$A⋂B
• 绝对补（补运算）：设全集是E，对集合A，E-A是集合A的绝对补。记为~A或者$\overline{A}$A
• 集合的补（差集）：设任意集合A和B，所有属于集合A而不属于集合B的一切元素组成的集合S，称为集合B对于A的补集或者相对补，记为A-B
• 集合的对称差：设任意集合A和B，A和B的对称差集为集合S，其元素属于A或者属于B，但不能既属于A又属于B。记为A$\bigoplus$⨁B

集合的运算性质及定律

$幂等律：\\ A \cup A=A\\ A \cap A=A\\ 交换律：\\ A \cup B=B \cup A\\ A \cap B =B \cap A\\ 结合律：\\ A \cup (B \cup C)=(A \cup B)\cup C\\ A \cap (B \cap C)=(A \cap B)\cap C\\ 同一律：\\ A \cup \emptyset =A\\ A \cap E（全集）=A\\ 零律：\\ A \cup E=E\\ A \cap \emptyset =\emptyset \\ 分配律： A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap (A \cup C)\\ A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup (A \cap C)\\ 吸收律：\\ A \cup (A \cap B)=A\\ A \cap (A \cup B)=A\\ 矛盾律，排中律：\\ \overline{A}\cap A=\emptyset\\ \overline{A}\cup A=E\\ 双重否定率：\\ \overline{\overline{A}}=A\\ 德摩根律：\\ \overline{A \cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\\ \overline{A \cap B}=\overline{A}\cap \overline{B}$幂等律：A∪A=AA∩A=A交换律：A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C同一律：A∪∅=AA∩E（全集）=A零律：A∪E=EA∩∅=∅分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)吸收律：A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A矛盾律，排中律：A∩A=∅A∪A=E双重否定率：A=A德摩根律：A∪B=A∩BA∩B=A∩B

笛卡尔积的性质

• A$\times\emptyset =\emptyset $且$且\emptyset \times A=\emptyset $

• 不适合交换律

• 不适合结合律

• 对并和交运算满足分配律

• 设A,B,C,D是非空集合，则有$A \subseteq C \bigwedge B \subseteq D\leftrightarrow A\times B \subseteq C\times D$A⊆C⋀B⊆D↔A×B⊆C×D

• 若C非空，则$A \subseteq B\leftrightarrow A\times C \subseteq B\times C \leftrightarrow C\times A \subseteq C\times B$A⊆B↔A×C⊆B×C↔C×A⊆C×B

关系的表示

• 集合表示法：枚举法和叙述法

• 关系图法：

  如R是定义在A＝<a1,a2,a3,…,an>上的关系，则对应于关系R有如下规定：

  • 设a1,a2,…,an为图中节点，用“。”表示。

  • 如<$a_{i},a_{j}$ai​,aj​>$\in$∈R,则从$a_{i}$ai​到$a_{j}$aj​可用一有向边$a_{i}\rightarrow a_{j}$ai​→aj​相连。

  • 如<ai,ai>$\in$∈R,则从ai到ai用一带箭头的小圆环表示。

• 关系矩阵法： 设A＝<a1,a2,a3,…,an>，B＝<b1,b2,b3,…,bm>，R是从A到B的一个二元关系，则对应于关系R之关系矩阵MR＝（rij)n×m。

  

  • 布尔矩阵的并运算，记为AKaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 1: \̲o̲r̲B=C=c(ij)

    如果aij=1或bij=1,则cij=1

  • 交运算：记为A$\land$∧B=C=cij

    如果aij=1且bij=1,则cij=1

  • 积运算：A是m*p矩阵，B是p*n 矩阵.

  • cij=1(存在k，aik=1 and bkj=1)

关系的基本运算

• 设R,S都是集合A到B的两个关系，则：

$R \cup S={<x,y>|(xRy)\vee(xSy) }\\ R \cap S={<x,y>|(xRy)\land (sSy)}\\ R -S={<x,y>|(xRy)\land (xSy)}\\ 根据定义，由于A\times B是相对于R的全集，所以\\ \overline{R}=A\times B-R,且\overline{R}\cup R=A\times B,\overline{R}\cup R=\emptyset$R∪S=<x,y>∣(xRy)∨(xSy)R∩S=<x,y>∣(xRy)∧(sSy)R−S=<x,y>∣(xRy)∧(xSy)根据定义，由于A×B是相对于R的全集，所以R=A×B−R,且R∪R=A×B,R∪R=∅

• 关系的复合：设R是一个从集合X到集合Y的二元关系，S是从集合Y到集合Z的二元关系，则RS的复合关系R$\circ$∘S是从X到Z的关系，并且：$R\circ S={<x,y>|(x \in X)\land (z \in Z)\land (\exist y)((y \in Y)\land (xRy)\land (ySz))}$R∘S=<x,y>∣(x∈X)∧(z∈Z)∧(∃y)((y∈Y)∧(xRy)∧(ySz))运算称为复合运算。

• 关系的幂：设R是集合A上的二元关系，则可定义$R^{n}$Rn如下：
  • $R^{0}=I_{A}={<a,a>|a \in A}$R0=IA​=<a,a>∣a∈A
  • $R=R$R=R
  • $R^{n+1}=R^{n}\circ R=R\circ R^{n}$Rn+1=Rn∘R=R∘Rn
• 逆关系：设R是一个从集合X到集合Y的二元关系，则从Y到X的关系$R^{c}={<b,a>|<a,b>\in R}$Rc=<b,a>∣<a,b>∈R称为R的逆关系，运算“c”称为逆运算
• $(R\circ S)\circ T=R\circ(S\circ T)$(R∘S)∘T=R∘(S∘T)
• $(R\circ S)^{c}=S^{c}\circ R^{c}$(R∘S)c=Sc∘Rc
• 

关系的性质

1. 设R是集合X上的二元关系：

   • 对任意的x$\in$∈X,

     • 都满足<x,x>$\in$∈R,则R是自反的。

     • 都满足<x,x>$\not\in R$​∈R是反自反的。

       对任意的x,y$\in$∈X

     • 满足<x,y>$\in$∈R,则有<y,x>$\in$∈R,则R是对称的。

     • 满足$<x,y>\in R\land<y,x>\in R\rightarrow x=y$<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y则R是反对称的。

       对任意的x,y,z$\in$∈X

     • 满足<x,y>$\in$∈R$\land$∧<y,z>$\in$∈R$\rightarrow$→<x,z>$\in$∈R，则R是传递的

2. 用关系图来描述关系的性质

   • 在关系图中，每个节点都有环，则此关系是自反的。
   • 在关系图中，每个节点是无环的，则此关系是反自反的。
   • 在关系图中，任何一个节点之间，要么有方向相反的两条边，要么没有任何边，则此关系是对称的
   • 在关系图中，任何一对节点之间，至多有一条边、exist是。则此关系是反对称的
   • 在关系图中，任何三个节点，x，y，z之间，若从x到y有一条边存在是，从y到z有一条边存在，则从x到z一定有一条边存在是，则此关系是传递的

3. 用关系矩阵来描述关系的性质

   • 在关系矩阵中，对角线上全是1，则此关系是自反的
   • 在关系矩阵中，对角线上全是0，则此关系是反自反的。
   • 若R之关系矩阵是对称矩阵，则此关系是对称的
   • 若关系矩阵是反对称矩阵（关于元素1的反对称），则此关系是反对称的
   • 在关系矩阵中，对任意i,j,k$\in$∈{1,2,3,…,n}，满足如$r_{ij}=1\land r_{jk}=1$rij​=1∧rjk​=1则$r_{ik}=1$rik​=1,则此关系是传递的

4. 关于关系性质的一些结论

5. 关系性质的逻辑表示

]

6. 关系性质的证明方法

   

   

   

闭包的计算方法

特殊元素

1. 设<A,$\leq$≤>是偏序集，B是A的任何一个子集。

   • 若存在元素b$\in $B,使得对任意x$B,使得对任意x\in$B,都有x$B,都有x\leq$b，则称b为B的最大元素。
   • 若有元素b$\in$∈B,使得对任意x$\in$∈B都有b$\leq$≤x,则称b为B的最小元素
   • 若存在元素b$\in$∈B,使得对任何x$\in$∈B满足$b\leq x\rightarrow x=b$b≤x→x=b,则称b为B的极大元素
   • 若存在元素b$\in$∈B,使得对任何x$\in$∈B,满足$x\leq b\rightarrow x=b$x≤b→x=b,则称b为B的极小元素
   • 若存在元素a$\in$∈A,使得对任何x$\in$∈B,都有x$\leq$≤B,都有$x\leq a$x≤a,则称a为B的上界
   • 若有是元素a$\in$∈A，使得对任何x$\in$∈B，都有a$\leq$≤x,则称a为B的下界
   • 若元素a’$\in$∈A是B的上界，元素a$\in$∈A是B的任何一个上界，若均有a’$\leq$≤a，则称a’为B的上确届。
   • 若元素a’$\in$∈A是B的下界，元素a$\in$∈A是B的任何一个下界，若均有a$\leq$≤a’，则称a’为B的下确界。

2. 特殊元素的一些结论：

   1. B的最大元、最小元、极大元和极小元如果存在是，一定在B中。

   2. b是B的最大元$\leftrightarrow$↔B中所有的元素都比b小。

      b是B的最小元$\leftrightarrow$↔B中所有的元素都比b大

      b是B的极大元$\leftrightarrow$↔B中没有比b大的元素

      b是B的极小元$\leftrightarrow$↔B中没有比b小的元素

   3. 子集B的上下界和上下确界可在集合A中寻找

   4. 子集B的上下界不一定存在，如果存在可能多个

   5. 子集B的上下确界不一定存在，如果存在一定唯一

   6. 子集B有上下确界就一定有上下界，反之不成立