离散数学笔记系列（二）

集合论笔记

• 一、集合的相关概念：
• 二、集合的运算：
• 三、函数及其运算：
• 四、自然数公理化：

一、集合的相关概念：

• 集合相等：

• 空集的性质：

• 集合的基数/势：

  

• 可数集：（实数/无理数集合不可数，整数/有理数集合可数）

  

• 阿列夫0/1：（连续统假设：不存在一个集合的势位于阿列夫0和阿列夫1之间）

  

• 幂集：（康托尔定理：任何集合的势劣势于其幂集的势）

• 笛卡尔乘积/直积：（A,B任意一个为空，其笛卡尔积为空）

二、集合的运算：

• 集合的常用运算符：并$\bigcup$⋃,交$\bigcap$⋂, 补$\overline A$A,差$-$−,对称差$\oplus$⊕ (对称差满足消去律)

• 集合恒等式：

三、函数及其运算：

• 函数/映射的定义：（函数的值域是其伴域的子集）

  

• 恒等函数：

• 特征函数：

• 偏函数，定义域内某些地方没有定义的函数

• 取整函数：

• 并集的像：$f(X \bigcup Y) = f(X) \bigcup f(Y)$f(X⋃Y)=f(X)⋃f(Y)

• 交集的像：$f(X \bigcap Y) \subset f(X) \bigcap f(Y)$f(X⋂Y)⊂f(X)⋂f(Y)

• 单射/满射/双射：

  

• 复合运算：

  $f \cdot g 是满射，则f一定为满射;f \cdot g 是单射，则g一定是单射$f⋅g是满射，则f一定为满射;f⋅g是单射，则g一定是单射

四、自然数公理化：

• 皮亚诺公理：
  

• 冯诺依曼归纳集定义：