从傅里叶变换到Laplace变换

从傅里叶变换到Laplace变换

• 傅里叶变换的不完美之处
• Laplace变换

傅里叶变换的不完美之处

$F(w)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(t) e^{-iwt} dt$F(w)=∫−∞+∞​f(t)e−iwtdt

狄利赫里条件的第三条，非常不容易满足
例如
$x(t)=x^2$x(t)=x2 当积分的时候，很容易大于$+\infty$+∞

Laplace变换

Laplace变换可以看做是傅里叶变换的升级版，在指数函数当中加入了快速衰减函数
$e^{-\sigma x} \quad \sigma > 0$e−σxσ>0
$lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) e^{-\sigma x} = 0 \quad \sigma > 0$limx→+∞​f(x)e−σx=0σ>0
Laplace变换公式
$F(w)=\int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-\sigma t} e ^{-iwt} dt = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-(\sigma + iw)t} dt$F(w)=∫0+∞​f(t)e−σte−iwtdt=∫0+∞​f(t)e−(σ+iw)tdt
令$s=\sigma+iw$s=σ+iw
$F(w)= \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$F(w)=∫0+∞​f(t)e−stdt

原视频：
https://www.bilibili.com/video/av44073817?p=6