太久没发博客总想水一篇，于是总结图论历年期末考试的答案解析，以达到水博客+复习期末+帮助对答案的目的。
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题号 |
答案 |
知识点与备注 |
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填空题 |
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1 |
题目有误 |
自补图的定义 |
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2 |
n1n2; n1m2+n2m1 |
积图的定义 |
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3 |
2^m |
生成子图的定义 |
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4 |
n |
邻接谱的含义与计算； 过程如下： |
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5 |
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因为完全且等部，故每部顶点数为(n/l),任意两部之间的边数为(n/l)^2, 再乘上2Cl=l(l-1)/2即可 |
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6 |
8
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最小生成树算法 |
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7 |
C1,6和C2,6 |
度极大非H图族的定义：n<m/2 某些答案给出的也有C3,6，根据书上定义C3,6是错误的 |
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8 |
4 |
不同的2因子分解的数目十分复杂，考试算出来不现实，书上和PPT也没有讲过，故本题应理解为1个2因子分解中有多少边不重的二因子，即为4个。 |
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9 |
n-2; m=3n-6. |
书上定理。 n-2:由数学归纳证明。 m=3n-6: 由 A. 2m=3Φ； B. 欧拉公式 联立即可得证 |
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10 |
3；4 |
点色数： 存在奇圈，故大于等于3；又能找到3故为3； 边色数： 彼得森图无1因子分解(去掉一个一因子后剩下两个5点圈，故不能1因子分解)，所以边色数>=4. 又能找到边色数=4的作色，故为4. |
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选择题 |
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1 |
D |
图序列的判定(充要条件) |
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2 |
A |
强连通图的定义 |
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3 |
D |
Qn是n正则偶图； n正则(n>0)偶图必存在完美匹配(证明时先证两部顶点数相同，之后X中任意集S关联边集为E1，N(S)关联边集为E2，则E1包含于E2，故E1边数=k|S|小于等于E2边数=k|N(S)|，故Hall定理有饱和X的匹配，又顶点数相同，故有完美匹配。) |
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4 |
C |
由对偶图做法，AB显然； C成立当且仅当G连通; D是定理，证明： 通过对任意两点构造一条曲线来证明，将面边序列转换为点边序列。 |
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大题 |
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三 |
握手定理+树m=n-1 得树根度数为3 |
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四 |
反证法 设e=uv为割边，则去掉e后对G1用握手定理， 得总度数和为奇数，不是2m，矛盾！ 故没有割边 |
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五 |
(1) 在G中删掉一点v(任意的)得图G1; (2) 在图G1中求出一棵最小生成树T; (3) 在v的关联边中选出两条权值最小者e1与e2. 若H是G的最优圈，则： W(H)>=W(T)+W(e1)+W(e2) 理由：见课本P88最后一段 设C为最优哈密尔顿圈， 则对任意顶点v，C-v是最优哈密尔顿路，也是G-v中的生成树 因此，若T是G-v的最小生成树，同时e和f是和v关联的两条边，并使得w(f)+w(e)尽可能小，则W(T)+W(e)+W(f)将是一个下界。 |
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六 |
虽然本题和Hall定理不同，但完全可以参照Hall定理来证明。 必要性： 设M*是完美匹配，则对于V的任意子集S，由于S的顶点在M下和N(S)中的相异顶点配对，故显然有|N(S)|>=|S|. 充分性： 可通过Hall定理的证明来证明；或者直接使用Hall定理： 对X的任意子集S，因为|N(S)|>=|S|,故能够饱和X的所有顶点；|X|<=|Y| 对Y的任意子集S，因为|N(S)|>=|S|,故能够饱和Y的所有顶点；|Y|<=|X|，|X|=|Y| 因此，存在完美匹配。 |
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七 |
由握手定理+欧拉公式： m<=3Φ-6； 反证，若deg(f)>=6 由面的次数定理得2m>=6Φ 矛盾！ |
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八 |
点色数 有K3，故点色数>=3 可找到，故点色数=3 分组略 |
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九 |
2[k]3+3[k]4+[k]5 过程略，建议理想子图计数法 |
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