数字信号处理DSP基础篇（一）

数字信号处理DSP基础篇（一）

• 长时间序列的卷积运算加速方法
• 时域卷积
• 频域分段卷积

长时间序列的卷积运算加速方法

时域卷积

我们对长时间序列做卷积运算时通常伴随着较大的运算量，本文介绍了一种基于信号分段和FFT变换的时间卷积方法，可以有效提高运算效率。

1. 时域卷积原理
   假设卷积公示为$\bm{y}(n) = \bm{x}(n) * \bm{h}(n)$y(n)=x(n)∗h(n)，其中$\bm{x}(n)=[x_1,x_2,...,x_N]^T, \bm{h}(n) = [h_1,h_2,...,h_M]^T$x(n)=[x1​,x2​,...,xN​]T,h(n)=[h1​,h2​,...,hM​]T，则$\bm{y}(n)$y(n)的长度为$N+M-1$N+M−1，卷积过程的图解为：

2. 时域卷积原理
该过程包括$M*(N+M-1)$M∗(N+M−1)次乘法，$M*(N+M-1)$M∗(N+M−1)次加法。

频域分段卷积

1. 频域卷积原理
   思路：对长序列$\bm{x}(n)$x(n)进行分段处理，对每一段序列$\bm{x}^i(n)$xi(n)进行FFT变换得到$\bm{X}^i(k)$Xi(k)，其中$i$i表示第$i$i段。将$\bm{X}^i(k)$Xi(k)与$\bm{h}(n)$h(n)的FFT变换结果相乘得到$\bm{Y}^i(k)$Yi(k)，接着对$\bm{Y}^i(k)$Yi(k)进行反傅里叶变换$\bm{y}^i(n)$yi(n)，最后将$\bm{y}^i(n)$yi(n)进行整合重构。整个过程的图解为：
   
   要点：

• Nfft应当满足$Nfft = N_x + N_h - 1$Nfft=Nx​+Nh​−1，因为分段信号$\bm{x}^i(n)$xi(n)和$\bm{h}(n)$h(n)的卷积结果长度为$N_x+N_h-1$Nx​+Nh​−1，如果$Nfft &lt; N_x + N_h - 1$Nfft<Nx​+Nh​−1，会出现混叠的现象，无法恢复正确的信号$\bm{y}^i(n)$yi(n)。

2. 运算量
   由于$N$N点FFT的运算量为$\log_2 N^2/2$log2​N2/2次复数乘法，$\log_2 N^2$log2​N2次复数加法，所以分段频域卷积的计算量为：
   $复数乘法:N_{frm}*(3*\log_2 N_{fft}^2/2 + N_x) \\ 复数加法:N_{frm}*(3*\log_2 N_{fft}^2)$复数乘法:Nfrm​∗(3∗log2​Nfft2​/2+Nx​)复数加法:Nfrm​∗(3∗log2​Nfft2​)
   其中$N_{frm} = \lfloor N/N_x \rfloor$Nfrm​=⌊N/Nx​⌋。所以，频域分段卷积比时域卷积的运算量小许多。