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组合数学3-排列组合

文章目录

排列组合

乒乓球放盒子：

  • 编号的乒乓球，4个乒乓球，1号，2号，3号，4号，取出其中的3个
  • 如果考虑顺序，则称之为排列数，P(4,3)P(4,3)
    P(4,3)=4×3×2=24P(4,3)=4\times3\times2=24(无重排列)
  • 如果不考虑顺序，则称之为组合数，C(4,3)C(4,3)
    C(4,3)=4！/3！C(4,3)=4！/3！(无重组合)

排列(permutation)

  • 排列的个数用 P(n,r)P(n,r)来表示，或PnrP_n^r。
  • 从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素，按次序排列，称为从n中取r个的无重排列。一般不说可重即无重。(n≥r)(n\ge r)
  • 典型模型：从n个不同的球中，取出r个，放入r个不同的盒子中，每盒1个。(n≥r)(n\ge r)
组合数学3-排列组合
  • P(n,r)=n(n−1)⋯⋯(n−r+1)=n!(n−r)!P(n,r)=n(n-1)\cdots\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}
    全排列：P(n,n)=n!P(n,n)=n!
  • 排列P(n,r)P(n,r)的递推关系：
组合数学3-排列组合

组合(combination)

  • 组合的个数用 C(n,r)C(n,r)来表示，或CnrC_n^r。

  • 从n个不同的元素中取出r个不重复的元素组成一个子集，且不考虑元素的顺序，称为从n中取r个的无重组合。(n≥r)(n\ge r)

  • 典型模型：若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个的组合模型。
    若将排列模型中盒子标号去掉，则产生相应的组合模型。盒子中有r!r!个标号方案。
    所以：
    C(n,r)r!=P(n,r)=n!(n−r)!C(n,r)r!=P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}

  • C(n,r)=n!(n−r)!r!C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}

  • 性质1： C(n,r)=C(n,n−r)C(n,r)=C(n,n-r)
    n个乒乓球选出r个的方法自然等于剩下n-r个的方法。

  • 性质2： C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n−r,l−r)C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n-r,l-r)

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