字符串哈希

哈希又称散列，是把一个对象通过哈希函数映射成一个整数值（哈希值）

设字符串为s，s[i]表示i位置字符的ASCII码，hash[i]表示字符串s的子串，前缀i的哈希值。
字符串哈希的常用哈希函数为：
$hash[i]=hash[i-1]*p+s[i]$
(p通常为质数，可以进一步减少哈希冲突)也可写作：
$hash[i]=\sum_{i=0}^{l-1}s[i]*p^i$

这个哈希函数对子串的运算非常友好，有下面一个重要性质：

先按照公式2展开，变得更加直观

字符串哈希
显然，如果要求字符串s的子串s3s4的哈希值。由公式2可知s3s4的哈希值应该是s₃*p+s₄，显然不能直接用hash[4]-hash[2]得到s3s4的哈希值，而是应当使用hash[4]-hash[2]*p²。
所以可以推理出求子串s[l,r]哈希值公式应该为：
$hash[l,r]=hash[r]-hash[l]*p^{r-l+1}$
这可以用于字符串的模式匹配，例如：

给定一个模式串t，一个带匹配串s，问带匹配串s是否包含串t作为子串。

由公式2可知，模式串t的哈希值
$hash[i]=\sum_{i=0}^{l-1}s[i]*p^i$
这是一个可以被计算出来的固定值，再把它与待匹配串s等长的所有子串的哈希值进行比较。
那么如何计算待匹配串s等长的所有子串的哈希值呢？
也非常简单，可以直接根据公式2求，也可以根据公式3如下推导
$hash[l+1,r+1]=hash[r+1]-hash[l+1]*p^{r-l+1}$
通过公式3展开后，再用公式3分别展开（看上面的图就明白了）
hash[r+1]就相当于hash[r]*p+s[r+1]
$=(hash[r]*p+s[r+1])-(hash[l]*p+s[l+1])*p^{r-l+1}$
然后合并，括号内可以凑出逆向公式3式子
$=p*(hash[r]-hash[l]*p^{r-l+1})+s[r+1]-s[l+1]*p^{r-l+1}$
$=p*hash[l][r]+s[r+1]-s[l+1]*p^{r-l+1}$

最后结论：
$hash[l+1,r+1]=p*hash[l][r]+s[r+1]-s[l+1]*p^{r-l+1}$
这意味着子串[l+1,r+1]的哈希值可以直接由子串[l,r]与s[l+1]、s[r+1]算出来，复杂度是O(1)，而不需要通过公式2遍历一次s的子串。
这样即使把所有子串全部算出来也只有O(n)的复杂度。

参考：https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/80879387