立体角

立体角

文章目录

• 立体角
• 角度（angle）与立体角(solid angle)[^立体角1]
• 立体角的微分与积分[^立体角1]
• 立体角的意义[^立体角示意图1]

角度（angle）与立体角(solid angle)¹

• Angle: ratio of subtended arc length on circle to radius,圆上所对应的弧长与半径之比.
  
  $\theta=\frac{l}{r}; \\ Circle \ has \ 2\pi \ radians.$θ=rl​;Circle has 2π radians.

• Solid Angle:ratio of subtended area on sphere to radius squared.球面上面积与所对应的半径平方之比。如下图所示²

$\Omega =\frac{A}{r^2}; \\ Sphere \ has \ 4\pi \ steradians.$Ω=r2A​;Sphere has 4π steradians.

立体角的微分与积分¹

• 微分立体角
  
  其中 $\theta$θ 为天顶角，$\varPhi$Φ 为方位角。

• 对立体角在球面的积分

$\Omega = \int_{S^2}d\omega =\int_0^{2\pi}\int_o^\pi sin\theta d\theta d\phi =\int_0^{2\pi}(-cos\theta)|_0^\pi d\omega =4\pi$Ω=∫S2​dω=∫02π​∫oπ​sinθdθdϕ=∫02π​(−cosθ)∣0π​dω=4π

立体角的意义²

立体角的本质是一段封闭曲线对于观察点所张开的角度，只有这个角度是重要的，毕竟我们引入立体角就是为了获得这个视场角。而封闭曲线围成的曲面具体是什么形状，其实并不重要.

---

1. 知乎：基于物理渲染的基础知识 ↩︎ ↩︎

2. 炸鸡人：立体角简介 ↩︎ ↩︎