信贷风险评分卡

先上一张评分卡

一、评分卡逻辑

信贷业务评估的是客户的客户违约率（Percent of Default）即PD，是[0,1]的概率，比如2%即100个客户中有2个违约，简称为p。

评分卡中不直接用客户违约率p，而是用违约概率与正常概率的比值，称为Odds，即

$Odds=\frac{p}{1-p}$Odds=1−pp​， $p=\frac{Odds}{1+Odds}$p=1+OddsOdds​

评分卡的背后逻辑是Odds的变动与评分变动的映射（把Odds映射为评分），分值是根据Odds的前提条件算出来的，不是人工取的。以单个客户在整张评分卡的得分的变动（比如评分从50分上升到70分）来反映Odds的变动（比如Odds从5%下降至1.25%），以及背后相对应的客户违约率PD的变动（比如从4.8%下降到1.2%）。违约率PD不直观、业务看起来不方便、不便计算，而评分就很直观、便于计算。如图所示。

因此评分卡的生成过程，就是Odds变动映射成评分变动的过程。

二、评分映射公式

Odds映射为评分的公式为：

$Score=A-Blog(\frac{p}{1-p})$Score=A−Blog(1−pp​)

<1> 预设条件

要算出系数A、B的话，需要从业务角度先预设两个前提条件：

1. 在某个特定的比率$\theta_0$θ0​设定特定的预期分值$P_0$P0​
2. 指定比率翻番时分数的变动值（PDO）

解释：

1. 比如根据业务经验，消费金融信贷的客户违约率4.8%算正常（$\theta_0=Odds=5\%)）。预设评分卡的分值为0-100分，那取预期分值$θ0​=Odds=5%)）。预设评分卡的分值为0−100分，那取预期分值P_0)为50分，并指定当Odds按双倍上下浮动时（比如2.5%或10%），分值则对应上下变动10分（比如60分或40分）。
2. 这里$\theta_0$θ0​=5%是根据业务经验来的，没有数学依据；
3. 0-100分是根据做评分卡的需要来的，没有数学依据。要是想做成600-1000分的评分卡也可以，修改对应的$P_0$P0​和PDO就行；
4. $P_0$P0​=50分是根据0-100分来的，也可以取45分或73分，不重要。重要的是随着Odds翻番变动时，分数也随之变动的联动变化体系（你翻番我就变PDO=10分）

<2> 求解A、B

设定好$\theta_0$θ0​、$P_0$P0​、PDO后，联动变化为：$Odds(\theta_0)$Odds(θ0​)对应的分值为$P_0$P0​，且翻番的$Odds(2\theta_0)$Odds(2θ0​)对应的分值为$P_0$P0​+PDO。则有以下两式：

$P_0=A-Blog(\theta_0)$P0​=A−Blog(θ0​)

$P_0+PDO=A-Blog(2\theta_0)$P0​+PDO=A−Blog(2θ0​)

解出A、B为：

$B=\frac{PDO}{log(2)}$B=log(2)PDO​

$A=P_0+Blog(\theta_0)$A=P0​+Blog(θ0​)

按上面的解释举个例子：

设$\theta_0$θ0​、$P_0$P0​、PDO为5%、50分、10分，则

$B=\frac{10}{ln(2)}=14.43$B=ln(2)10​=14.43

$A=50+14.43*ln(0.05)=6.78$A=50+14.43∗ln(0.05)=6.78

则

$Score=6.78-14.43log(\frac{p}{1-p})$Score=6.78−14.43log(1−pp​)

<3> 完整的对应关系表

按照公式，可以把所有$Odds(\frac{p}{1-p})$Odds(1−pp​)和客户评分、客户违约概率（PD）的对应关系算出来

该关系对应表应该算信用评分卡的核心思想了，评分是外层表现，客户违约率是内层核心，Odds是中间层转换计算

三、Odds映射X变量

那问题来了，现在能算Score了，但输入是Odds。但数据的输入是特征变量$[x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n]$[x1​,x2​,x3​,⋯,xn​]，这里怎么对应呢？这就要说到逻辑回归本身了，先放结论：

$log(\frac{p}{1-p})=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n$log(1−pp​)=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​

怎么来的，以下详细讲。

<1> Sigmoid

逻辑回归来源于线性回归（二维空间中就是一条直线拟合所有样本点），虽然线性回归是回归算法，逻辑回归是分类算法，但从算法表达式上，逻辑回归就是在线性回归算法外面套了一层壳。

线性回归：
$f(x)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n$f(x)=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​

逻辑回归：
$f(x)=\frac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n)}}$f(x)=1+e−(β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​)1​

可以看到，从表达式上看，逻辑回归只是在线性回归的表达式外面套了一层$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$f(x)=1+e−x1​的壳。为什么要套这层壳，因为线性回归的值域为实数集R，但逻辑回归是二分类算法，需要输出的是类别1和类别2的概率，而概率是个[0, 1]之间的数。因此需要将线性回归的输出实数变成[0, 1]之间的概率，而能满足输入是实数而输出是[0, 1]的，就是Sigmoid函数，它的图形是个类S（见上面逻辑回归图）的限定在[0, 1]之间的函数。因此将Sigmoid函数套在线性回归外面，构成逻辑回归，拥有处理非线性的能力，可以做分类。

<2> 变换公式形式

那么在信贷评分卡上，$f(x)$f(x)即为要预测的客户违约率（PD）$p$p，另将$\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n$β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​简写为向量形式$\beta^Tx$βTx，即：

$p=\frac{1}{1+e^{-\beta^Tx}}$p=1+e−βTx1​

经过变换，可得$ln(\frac{p}{1-p})=\beta^Tx$ln(1−pp​)=βTx

四、X变量细分到分组

好，回到主线，$log(\frac{p}{1-p})=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n$log(1−pp​)=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​，将score公式中的输入p变成输入特征变量X。到这里按理就可以结束了，有X就可以产出客户的Score，即：

$Score=A-B(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n)$Score=A−B(β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​)

但我们要做的是分组评分卡，X是要对应到每个分组，得到各变量分组的评分然后相加得到客户总评分的，那就还需要将X打散到各分类（用离散型数据入逻辑回归模型）。因此这里的输入X就不能是原始变量，而是原始变量分箱并算WOE后的woe值（类似离散变量中各类别的数值化），即：

$Score=A-B[\beta_0+\beta_1(\delta_{11}w_{11}+\delta_{12}w_{12}+\delta_{13}w_{13})+\beta_2(\delta_{21}w_{21}+\delta_{22}w_{22}+\delta_{23}w_{23}+\delta_{24}w_{24})+\cdots+\beta_n(\delta_{n1}w_{n1}+\delta_{n2}w_{n2})]$Score=A−B[β0​+β1​(δ11​w11​+δ12​w12​+δ13​w13​)+β2​(δ21​w21​+δ22​w22​+δ23​w23​+δ24​w24​)+⋯+βn​(δn1​wn1​+δn2​wn2​)]

1. 假设类别型变量$x_1$x1​、$x_2$x2​、$x_n$xn​分别有3、4、2个分类（数值型变量先分箱成类别型变量）
2. $\delta_{ij}$δij​代表第i个变量的第j个分类，客户数据参与评分时，某个变量x只会有1个数，只会对应一个分类。比如，变量$x_1$x1​的取值是第2个分类的话，那$\delta_{12}$δ12​为1，则第二个分类的woe值$w_{12}$w12​生效，$x_1$x1​的其他两个$\delta$δ则为0，对应的其他两个分类的woe值无效不参与计算

五、生成评分卡

将上面的公式变下形式，变成最终可以组成评分卡的样式，即：
$\begin{aligned} Score=A-B\{\beta_0 &amp; +(\beta_1w_{11})\delta_{11}+(\beta_1w_{12})\delta_{12}+(\beta_1w_{13})\delta_{13} \\ &amp; +(\beta_2w_{21})\delta_{21}+(\beta_2w_{22})\delta_{22}+(\beta_2w_{23})\delta_{23}+(\beta_2w_{24})\delta_{24} \\ &amp; +\cdots \\ &amp; +(\beta_nw_{n1})\delta_{n1}+(\beta_nw_{n2})\delta_{n2}\} \end{aligned}$Score=A−B{β0​​+(β1​w11​)δ11​+(β1​w12​)δ12​+(β1​w13​)δ13​+(β2​w21​)δ21​+(β2​w22​)δ22​+(β2​w23​)δ23​+(β2​w24​)δ24​+⋯+(βn​wn1​)δn1​+(βn​wn2​)δn2​}​

$\begin{aligned} Score=(A-B\beta_0) &amp; - (B\beta_1w_{11})\delta_{11}-(B\beta_1w_{12})\delta_{12}-(B\beta_1w_{13})\delta_{13}-(B\beta_1w_{14})\delta_{14} \\ &amp; -\cdots-(B\beta_nw_{n1})\delta_{n1}-(B\beta_nw_{n2})\delta_{n2} \end{aligned}$Score=(A−Bβ0​)​−(Bβ1​w11​)δ11​−(Bβ1​w12​)δ12​−(Bβ1​w13​)δ13​−(Bβ1​w14​)δ14​−⋯−(Bβn​wn1​)δn1​−(Bβn​wn2​)δn2​​

A、B已经算出，$\beta$β是逻辑回归模型的输出系数，$\beta_0$β0​是逻辑回归模型的输出截距项，w是分箱后的woe值

嗯，至此评分卡就可以生成了。