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机器人学习笔记

文章目录


参考文献：

  • [1]. 机器人学导论（第四版）
  • [2]. Robot modeling and control

1. 线速度和角速度

角速度矢量表达式，
ω=θ˙k^\omega=\dot\theta\hat k
这里，
k^\hat k，表示旋转轴方向的单位矢量，
θ\theta，表示旋转体上任一点垂直于旋转轴扫过的角度。
物体的转动本身是脱离坐标系的，只有其旋转轴是定义在坐标系中的。

线速度矢量表达式，
υ=ω×r\upsilon=\omega\times r
这里，
rr，是原点到旋转体上任一点的矢量。

这里注意一个概念，机器人中每个刚体都附加一个坐标系，那么刚体的旋转与坐标系旋转是等价的（任一点扫过的角度相同），因此角速度被认为是坐标系的属性，用于描述姿态，而不是点的属性。但是，点可以有线速度的属性1。

下面的一个问题，固定矢量BP^BP相对于坐标系B{B}不变，但坐标系B{B}是旋转的，问在坐标系A{A}中PP矢量的线速度矢量是什么？
答案是，
AVP=AωB×AP{^AV_P={}^A\omega_B\times{}^AP}
这里，AP=BAR BP{}^AP={}^A_BR\space{}^BP。这个结果教材[1]给出了两种证明，公式(5.10)给出了几何解析结果，公式(5.28)给出了基于反对称矩阵SS的推导方法。
这里的角速度矢量AωB{}^A\omega_B该怎么理解呢？由ω=θ˙k^\omega=\dot\theta\hat k可知它表示坐标系BB的旋转轴方向的单位矢量是在坐标系AA中表达的，而BB的xyzxyz轴扫过的角度的导数θ˙\dot\theta是这个矢量的分量。

如果PP在BB中是移动的，且BB相对于AA也是移动的，联立线速度和角速度，可得到PP在AA中线速度矢量的普遍公式，
AVP=AVBORG+BAR BVP+AωB×BAR BP^AV_P={}^AV_{BORG}+{}^A_BR\space{}^BV_P+{}^A\omega_B\times{}^A_BR\space{}^BP
式中，
AVBORG{}^AV_{BORG}，表示坐标系BB相对于AA的平移速度，
BAR BVP{}^A_BR\space{}^BV_P，表示由于矢量PP在BB中移动产生的相对于坐标系AA的移动速度，
AωB×BAR BP{}^A\omega_B\times{}^A_BR\space{}^BP，表示由于BB旋转产生的PP相对于坐标系AA的移动速度。

2. 连杆的运动

以下两个重要的公式的用途是：将关节的转动转化为工作空间的线速度（位置position的导数）和角速度（姿态pose的导数）。
机器人学习笔记
连杆(i+1)(i+1)相对于连杆i{i}在坐标系(i+1)(i+1)中的角速度矢量由两部分组成，
i+1ωi+1=ii+1R iωi+θ˙i+1 i+1Z^i+1^{i+1}\omega_{i+1}={}^{i+1}_iR\space{}^i\omega_i+\dot\theta_{i+1}\space{}^{i+1}\hat{Z}_{i+1}
这里，
i+1ωi+1^{i+1}\omega_{i+1}，表示连杆(i+1)(i+1)的旋转轴定义在(i+1)(i+1)坐标系中，
ii+1R iωi{}^{i+1}_iR\space{}^i\omega_i，代表连杆ii的转动，其转动轴定义在坐标系ii中，通过ii+1R{}^{i+1}_iR变换到(i+1)(i+1)中，
θ˙i+1 i+1Z^i+1\dot\theta_{i+1}\space{}^{i+1}\hat{Z}_{i+1}，表示连杆(i+1)(i+1)的转动，其转动轴是(i+1)(i+1)坐标系中的Z^\hat{Z}轴。

连杆(i+1)(i+1)在坐标系ii中的线速度iυi+1{}^{i}\upsilon_{i+1}（认为是连杆(i+1)(i+1)末端相对于坐标系ii的原点的线速度），也有两部分组成，
iυi+1=iυi+iωi×iPi+1{}^{i}\upsilon_{i+1}={}^i\upsilon_i+{}^i\omega_i\times{}^iP_{i+1}
这里，
iPi+1{}^iP_{i+1}指向的坐标系(i+1)(i+1)的原点，也是连杆(i+1)(i+1)的起点，
iυi{}^i\upsilon_i，代表连杆ii的末端相对于坐标系ii原点的线速度，
iωi×iPi+1{}^i\omega_i\times{}^iP_{i+1}，表示由连杆i+1{i+1}转动引起的线速度
对上式两侧乘以ii+1R{}^{i+1}_iR得到连杆i+1{i+1}末端相对于始端的线速度矢量，
i+1υi+1=ii+1R (iυi+iωi×iPi+1){}^{i+1}\upsilon_{i+1}={}^{i+1}_iR\space({}^i\upsilon_i+{}^i\omega_i\times{}^iP_{i+1})

  1. 参见Robot Modeling and Control P115 ↩︎

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