Bezier曲线和B样条曲线|第七章 自由曲线与曲面|计算机图形学

工业产品的几何形状可分为两类：初等解析曲面和自由曲面。本文将总结曲线的基本概念以及Bezier曲线和B样条曲线的相关知识点，包括其形成方式、矩阵表达式、端点性质、连续性。同时，也将总结计算题中可能出现的内容。

基本概念

连续性条件

连续性条件所讨论的对象是两个曲线或曲面。连续性条件包括参数连续性和几何连续性。下表中讨论的是各阶对连接点的要求。

阶数	参数连续性	几何连续性
零阶	$C^0$C0，坐标相同	$G^0$G0，坐标相同
一阶	$C^1$C1，一阶导数相同	$G^1$G1，一阶导数成比例
二阶	$C^2$C2，一阶和二阶导数相同	$G^2$G2，一阶和二阶导数成比例

两段三次Bezier曲线达到$G^0$G0连续性的条件是$P_3=Q_0$P3​=Q0​。达到$G_1$G1​连续性的条件是：$P_2$P2​、$P_3$P3​和$Q_1$Q1​三点共线，且$P_2$P2​和$Q_1$Q1​位于$P_3$P3​的两侧。如下图。

二次B样条曲线可以达到$C^1$C1连续性，三次B样条曲线可以达到$C^2$C2连续性。

曲线形成方式

三次Bezier曲线是四个控制点为一组，每增加一条曲线需要增加三个控制点，即$控制点数=3\times曲线数+1$控制点数=3×曲线数+1。而三次B样条曲线也是四个控制点为一组，不过每增加一条曲线只需要添加一个控制点，即$控制点数=曲线数+3$控制点数=曲线数+3。三次Bezier曲线每两段相邻曲线有一个相同的控制点，而三次B样条曲线有三个。如下图。

计算题

参数方程与矩阵表达式

三次曲线的通式如下：

Bezier曲线的矩阵表达式：

三次Bezier曲线基函数为：

B样条曲线的矩阵表达式：

基函数：

端点性质

对于三次B样条曲线：

起点位置（$P_0$P0​）：$\frac 23P_1+\frac 13(P_0,P_2中点)$32​P1​+31​(P0​,P2​中点)。
终点计算方式与起点一样。
一阶导：如P(0)的一阶导为$\frac 12(P_2-P_1)$21​(P2​−P1​)。