卷积算子的矩阵向量乘积表示&二维离散降质模型

@图像处理入门学习知识（一）

卷积算子的矩阵向量乘积表示&二维离散降质模型

在图像处理过程中，有时候我们需要将卷积运算转化为矩阵乘积运算，这也是离散降质模型构成的基础，那么怎么将卷积乘法转化为矩阵向量乘法呢 。我们可以运用有关循环矩阵或Toepliz矩阵的特点来构造卷积矩阵。上一篇已经介绍了一维离散降质模型转换过程及部分代码，这一篇将继续介绍二维序列卷积怎么转化为矩阵向量乘法。

二维图像离散降质模型

在二维离散系统中，输入信号尺寸为的二维序列f(x，y)，加性噪声n(x，y)尺寸同样为AXB, 冲激响应函数h(x，y) 尺寸为CXD，为了避免各个周期重叠，将f(x,y)、n(x,y)、h(x,y)补零延拓至尺寸MXN,即(A+C-1)X(B+D-1)的矩阵序列，得到fe(x,y)、ne(x,y)、he(x,y)，可表示为: $\begin{array}{l} {\rm{f}}_{\rm{e}} {\rm{(x，y) = }}\left\{ \begin{array}{l} {\rm{f(x,y),0}} \le {\rm{x}} \le {\rm{A - 1},\rm{y}} \le {\rm{B - 1}} \\ {\rm{0,A}} \le {\rm{x}} \le M{\rm{ - 1},\rm{y}} \le {\rm{N - 1}}\end{array} (1.1.1) \right. \\ h_{\rm{e}} {\rm{(x,y) = }}\left\{ \begin{array}{l} {\rm{h(x,y),0}} \le {\rm{x}} \le C{\rm{ - 1},\rm{y}} \le {\rm{D - 1}} \\ {\rm{0,B}} \le {\rm{x}} \le M{\rm{ - 1},\rm{y}} \le {\rm{N - 1}} \\ \end{array}(1.1.2) \right. \\ n_{\rm{e}} {\rm{(x,y) = }}\left\{ \begin{array}{l} {\rm{n(x,y),0}} \le {\rm{x}} \le {\rm{A - 1},\rm{y}} \le {\rm{B - 1}} \\ {\rm{0,A}} \le {\rm{x}} \le M{\rm{ - 1},\rm{y}} \le {\rm{N - 1}} \\ \end{array}(1.1.3) \right. \\ \end{array}$fe​(x，y)={f(x,y),0≤x≤A−1,y≤B−10,A≤x≤M−1,y≤N−1​(1.1.1)he​(x,y)={h(x,y),0≤x≤C−1,y≤D−10,B≤x≤M−1,y≤N−1​(1.1.2)ne​(x,y)={n(x,y),0≤x≤A−1,y≤B−10,A≤x≤M−1,y≤N−1​(1.1.3)​

根据卷积定理可得，二维离散降质模型用离散卷积形式表示为

将上式卷积形式可以用矩阵向量表示为:
${\rm{\bf{g} = \bf{Hf} + \bf{n}}}$g=Hf+n
卷积矩阵$\bf{H}$H为$h_e(x，y)$he​(x，y)的矩阵形式， $\bf{H}$H为循环矩阵，上式中，$\bf{g}$g、$\bf{f}$f、$\bf{n}$n均为MN维列堆砌形成的列向量，如下：

此时降质矩阵H是一个MNXMN维的方阵，H可以表示为MXM维的分块矩阵，即：

其中每一个子矩阵Hi中为he(x,y)矩阵中的第i行向量的一维卷积矩阵，即：

若不添加噪声项n进行测试，对二维序列卷积矩阵进行验证，此时则有${\bf{Hf}=f(x)*h(x)}$Hf=f(x)∗h(x)，$“*”$“∗”代表卷积运算，结果如下:
输入
则可以得到H,X:

可以发现，将HX值重新排布即可等于卷积值，用Toepliz矩阵也可以取得很好的效果，下次有时间会整理Toepliz矩阵解决这种问题的基本原理及代码。