李宏毅机器学习入门学习笔记（二）Where does the error come from

课程介绍

上节课《李宏毅·机器学习》读书笔记（一）Regression - Case Study，主要介绍了回归算法的整个演算过程。在课程最后为了改善模型，不断提升模型的复杂度，但是效果反而变差了。

本节课主要介绍其他改善模型的方法，并介绍交叉验证这种模型选择的方案。

文章目录

• 课程介绍
• Error的来源
• 估测
• 估测变量x的偏差（bias）和方差（variance）
• 评估 x 的平均值
• 估测变量 x 的方差（variance）
• 为什么会有很多的 $f^*$ ?
• 考虑不同 model 的 variance
• 考虑不同 model的 bias
• bias v.s. variance
• 怎么判断？
• 分析
• bias大，Underfitting
• variance大，Overfitting
• 选择model
• Cross Validation（交叉验证）
• N-fold Cross Validation（N-折交叉验证）

Error的来源

从上节课测试集数据来看，$Average\ Error$Average Error 随着模型复杂增加呈指数上升趋势。更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果，而这些 $Error$Error 的主要有两个来源，分别是 $bias$bias 和 $variance$variance 。

然而 $bias$bias 和 $variance$variance 是什么？可以查看 机器学习中的Bias(偏差)，Error(误差)，和Variance(方差)有什么区别和联系？

估测

假设真实的模型为 $\hat f$f^​ ， 如果我们知道 $\hat f$f^​ 模型，那是最好不过了，但是 $\hat f$f^​ 只有 Niamtic 公司才知道。

所以我们只能通过收集 Pokemon精灵 的数据，然后通过 step1~step3 训练得到我们的理想模型 $f^*$f∗，$f^*$f∗ 其实是 $\hat f$f^​ 的一个预估。

这个过程就像打靶，$\hat f$f^​ 就是我们的靶心，$f^*$f∗ 就是我们投掷的结果。如上图所示，$\hat f$f^​ 与 $f^*$f∗ 之间蓝色部分的差距就是 $bias$bias 和 $variance$variance 导致的。

估测变量x的偏差（bias）和方差（variance）

我们先理解一下偏差和方差是怎样计算的呢？ 偏差(Bias)和方差(Variance)——机器学习中的模型选择

评估 x 的平均值

• 假设 $x$x 的平均值是 $\mu$μ，方差为 $\sigma^2$σ2

评估平均值要怎么做呢？

• 首先拿到 $N$N 个样本点：$\{x^1,x^2,···,x^N\}${x1,x2,⋅⋅⋅,xN}
• 计算平均值 $m$m, 得到 $m=\frac{1}{N}\sum_n x^n \neq \mu$m=N1​∑n​xn̸​=μ
  

但是如果计算很多组的 $m$m ，然后求 $m$m 的期望：

$E[m]=E[\frac{1}{N}\sum x^n]=\frac{1}{N}\sum_nE[x^n]=\mu$E[m]=E[N1​∑xn]=N1​n∑​E[xn]=μ

这个估计呢是无偏估计（unbiased）。

然后 $m$m 分布对于 $\mu$μ 的离散程度（方差）：
$Var[m]=\frac{\sigma^2}{N}$Var[m]=Nσ2​

这个取决于 $N$N，下图看出 $N$N 越小越离散：

估测变量 x 的方差（variance）

如何估算 $variance$variance 呢？

为什么会有很多的 $f^*$f∗ ?

讨论系列02中的案例：这里假设是在平行宇宙中，抓了不同的神奇宝贝

用同一个model，在不同的训练集中找到的 $f^∗$f∗ 就是不一样的

这就像在靶心上射击，进行了很多组（一组多次）。现在需要知道它的散布是怎样的，将100个宇宙中的model画出来

不同的数据集之前什么都有可能发生—||

考虑不同 model 的 variance

一次model的variance就比较小的，也就是是比较集中，离散程度较小。而5次model 的 variance就比较大，同理散布比较广，离散程度较大。

所以用比较简单的model，variance是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的model，variance就很大，散布比较开。

这也是因为简单的model受到不同训练集的影响是比较小的。

考虑不同 model的 bias

这里没办法知道真正的 $\hat{f}$f^​，所以假设图中的那条黑色曲线为真正的 $\hat{f}$f^​

结果可视化，一次平均的 $\bar{f}$fˉ​ 没有5次的好，虽然5次的整体结果离散程度很高。

一次model的bias比较大，而复杂的5次model，bias就比较小。

直观的解释：简单的model函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的model函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的，就可能得到真正的 f¯f¯。

bias v.s. variance

将系列02中的误差拆分为bias何variance。简单model（左边）是bias比较大造成的error，这种情况叫做 Underfitting（欠拟合），而复杂model（右边）是variance过大造成的error，这种情况叫做Overfitting（过拟合）。

怎么判断？

分析

如果model没有很好的fit训练集，就是bias过大，也就是Underfitting
如果model很好的fit训练集，即再训练集上得到很小的error，但在测试集上得到大的error，这意味着model可能是variance比较大，就是Overfitting。
对于Underfitting和Overfitting，是用不同的方式来处理的

bias大，Underfitting

此时应该重新设计model。因为之前的函数集里面可能根本没有包含f^f。可以：

将更多的feature加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。
或者考虑更多次幂、更复杂的model。
如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。

variance大，Overfitting

简单粗暴的方法：More data

但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整（Regularization）。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。

选择model

现在在bias和variance之间就需要一个权衡
想选择的model，可以平衡bias和variance产生的error，使得总error最小
但是下面这件事最好不要做：

用训练集训练不同的model，然后在测试集上比较error，model3的error比较小，就认为model3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上error是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的error都是大于0.5的。

Cross Validation（交叉验证）

图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。Cross Validation 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练model，然后再验证集上比较，确实出最好的model之后（比如model3），再用全部的训练集训练model3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的error都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整model，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。（心里难受啊，大学数模的时候就回去调，来回痛苦折腾）

上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办，可以用下面的方法。

N-fold Cross Validation（N-折交叉验证）

将训练集分成N份，比如分成3份。

比如在三份中训练结果Average Error是model1最好，再用全部训练集训练model1。（貌似数模也干过，当年都是莫名其妙的分，想想当年数模的时候都根本来不及看是为什么，就是一股脑上去做00oo00）