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1 量子计算原理
经典计算中，最基本的单元是比特，最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。
类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门，使用量子逻辑门可以有意识地使量子态发生演化，所以量子逻辑门是构成量子算法的基础。
1.1 酉变换
酉变换是一种矩阵，也是一种操作，它作用在量子态上得到的是一个新的量子态。之前博客也提到过：
U
†
U^†
U† 表示
U
U
U 的转置复共轭矩阵，酉矩阵的转置复共轭矩阵也是一个酉矩阵，酉变换是一种可逆变换。
一般酉变换在量子态上的作用是通过左乘以右矢进行的，例如：
∣
ψ
⟩
=
U
∣
φ
0
⟩
或
⟨
ψ
∣
=
⟨
φ
0
∣
U
†
|ψ⟩=U|φ_0⟩ 或 ⟨ψ|=⟨φ_0|U^†
∣ψ⟩=U∣φ0⟩或⟨ψ∣=⟨φ0∣U† 由此可见，两个矢量的内积经过同一个酉变换之后保持不变：
⟨
φ
∣
ψ
⟩
=
⟨
φ
∣
U
†
U
∣
ψ
⟩
⟨φ|ψ⟩=⟨φ|U†U|ψ⟩
⟨φ∣ψ⟩=⟨φ∣U†U∣ψ⟩ 类似地，也可以通过酉变换表示密度矩阵的演化：
ρ
=
U
ρ
0
U
†
ρ=Uρ_0U^†
ρ=Uρ0U†这样就连混合态的演化也包含在内了。
1.2 矩阵的指数函数
在矩阵乘法的基础上，我们利用函数的幂级数来定义矩阵的指数函数。我们定义矩阵 A 的指数函数形式为：
e
x
p
(
A
)
=
I
+
A
+
A
2
2
！
+
A
3
3
！
+
.
.
.
exp(A)=I+A+\frac{A^2}{2\text{！}}+\frac{A^3}{3\text{！}}+...
exp(A)=I+A+2！A2+3！A3+...
如果
A
A
A 是一个对角矩阵，即
A
=
d
i
a
g
(
A
11
,
A
22
,
A
33
,
…
)
A=diag\left( A_{11},A_{22},A_{33},… \right)
A=diag(A11,A22,A33,…)，则有：
A
n
=
d
i
a
g
(
A
11
n
,
A
22
n
,
A
33
n
,
…
)
A^n=diag\left( A_{11}^{n},A_{22}^{n},A_{33}^{n},… \right)
An=diag(A11n,A22n,A33n,…) 从而得到：
e
x
p
(
A
)
=
I
+
A
+
A
2
2
！
+
A
3
3
！
+
.
.
.
=
I
+
d
i
a
g
(
A
11
,
A
22
,
A
33
,
…
)
+
d
i
a
g
(
A
11
2
,
A
22
2
,
A
33
2
,
…
)
2
！
+
d
i
a
g
(
A
11
3
,
A
22
3
,
A
33
3
,
…
)
3
！
+
.
.
.
=
d
i
a
g
(
1
+
A
11
+
A
11
2
2
!
+
A
11
3
3
!
+
…
,
A
22
+
A
22
2
2
!
+
A
22
3
3
!
+
…
,
A
33
+
A
33
2
2
!
+
A
33
3
3
!
+
…
,
…
…
)
=
d
i
a
g
(
e
A
11
,
e
A
22
,
e
A
33
,
…
)
\begin{aligned} exp(A)&=I+A+\frac{A^2}{2\text{！}}+\frac{A^3}{3\text{！}}+... \\ &=I+diag\left( A_{11}^{},A_{22}^{},A_{33}^{},… \right) +\frac{diag\left( A_{11}^{2},A_{22}^{2},A_{33}^{2},… \right)}{2\text{！}}+\frac{diag\left( A_{11}^{3},A_{22}^{3},A_{33}^{3},… \right)}{3\text{！}}+... \\ &=diag\left( 1+A_{11}^{}+\frac{A_{11}^{2}}{2!}+\frac{A_{11}^{3}}{3!}+…, A_{22}^{}+\frac{A_{22}^{2}}{2!}+\frac{A_{22}^{3}}{3!}+…, A_{33}^{}+\frac{A_{33}^{2}}{2!}+\frac{A_{33}^{3}}{3!}+…, …… \right) \\ &=\mathrm{diag}\left( e^{A_{11}},e^{A_{22}},e^{A_{33}},… \right) \end{aligned}
exp(A)=I+A+2！A2+3！A3+...=I+diag(A11,A22,A33,…)+2！diag(A112,A222,A332,…)+3！diag(A113,A223,A333,…)+...=diag(1+A11+2!A112+3!A113+…,A22+2!A222+3!A223+…,A33+2!A332+3!A333+…,……)=diag(eA11,eA22,eA33,…) 如果
A
A
A 不是一个对角矩阵，则利用酉变换可以将它对角化：
D
=
U
A
U
†
D=UAU^†
D=UAU†，从而有
（注：pdf P45 关于这部分的推导中
A
A
A 与
D
D
D 应该是写反了，下面为更正版）
D
n
=
(
U
A
U
†
)
n
=
(
U
A
U
†
)
(
U
A
U
†
)
(
U
A
U
†
)
…
…
=
U
A
n
U
†
\begin{aligned} D^n&=\left( UAU^{\dagger} \right) ^n \\ &=\left( UAU^{\dagger} \right) \left( UAU^{\dagger} \right) \left( UAU^{\dagger} \right) …… \\ &=UA^nU^{\dagger} \end{aligned}
Dn=(UAU†)n=(UAU†)(UAU†)(UAU†)……=UAnU† 那么，类似地
exp
(
D
)
=
exp
(
U
A
U
†
)
=
U
U
†
+
U
A
U
†
+
U
A
2
U
†
2
！
+
U
A
3
U
†
3
！
+
.
.
.
=
U
U
†
+
U
A
U
†
+
U
A
2
2
！
U
†
+
U
A
3
3
！
U
†
+
…
=
U
(
I
+
A
+
A
2
2
！
+
A
3
3
！
+
…
)
U
†
=
U
exp
(
A
)
U
†
=
U
d
i
a
g
(
e
A
11
,
e
A
22
,
e
A
33
,
…
)
U
†
\begin{aligned} \exp \left( D \right)& =\exp \left( UAU^{\dagger} \right) \\ &=UU^{\dagger}+UAU^{\dagger}+\frac{UA^2U^{\dagger}}{2\text{！}}+\frac{UA^3U^{\dagger}}{3\text{！}}+... \\ &=UU^{\dagger}+UAU^{\dagger}+U\frac{A^2}{2\text{！}}U^{\dagger}+U\frac{A^3}{3\text{！}}U^{\dagger}+… \\ &=U\left( I+A+\frac{A^2}{2\text{！}}+\frac{A^3}{3\text{！}}+… \right) U^{\dagger} \\ &=U\exp \left( A \right) U^{\dagger} \\ &=U\mathrm{diag}\left( e^{A_{11}},e^{A_{22}},e^{A_{33}},… \right) U^{\dagger} \end{aligned}
exp(D)=exp(UAU†)=UU†+UAU†+2！UA2U†+3！UA3U†+...=UU†+UAU†+U2！A2U†+U3！A3U†+…=U(I+A+2！A2+3！A3+…)U†=Uexp(A)U†=Udiag(eA11,eA22,eA33,…)U† 必须要引起注意的是：
e
x
p
(
A
+
B
)
≠
e
x
p
(
A
)
e
x
p
(
B
)
≠
e
x
p
(
B
)
e
x
p
(
A
)
exp\left( A+B \right) \ne exp\left( A \right) exp\left( B \right) \ne exp\left( B \right) exp\left( A \right)
exp(A+B)=exp(A)exp(B)=exp(B)exp(A) 我们知道，当
A
A
A 是表示数的时候等号是成立的，但是当 A 表示是矩阵时，等式成立需要满足一定条件。
通常，下面这种表达形式被称之为以
A
A
A 为生成元生成的酉变换。
U
(
θ
)
=
e
x
p
(
−
i
θ
A
)
U(\theta )=exp(−i\theta A)
U(θ)=exp(−iθA) 这种矩阵的指数运算可以利用 Matlab 中的 expm 命令进行方便地计算。
以单位矩阵为生成元，可以构建一种特殊的酉变换
u
(
θ
)
u(\theta )
u(θ)。
u
(
θ
)
=
e
x
p
(
−
i
θ
I
)
=
(
e
−
i
θ
0
0
e
−
i
θ
)
=
e
x
p
(
−
i
θ
)
I
u(\theta )=exp(-i\theta I)=\left( \begin{matrix} e^{-i\theta}& 0\\ 0& e^{-i\theta}\\ \end{matrix} \right) =exp(-i\theta )I
u(θ)=exp(−iθI)=(e−iθ00e−iθ)=exp(−iθ)I
u
(
θ
)
u(\theta )
u(θ) 作用在态矢上面，相当于态矢每个分量同时乘以一个系数
e
−
i
θ
e^{-i\theta}
e−iθ。如果将作用后的态矢带入到密度矩阵的表达式中，会发现这一项系数会被消去。
这项系数称为量子态的整体相位。因为任何操作和测量都无法分辨两个相同的密度矩阵，所以量子态的整体相位一般情况下是不会对系统产生任何影响的。
1.3 单量子比特逻辑门
在经典计算机中，单比特逻辑门只有一种——非门（NOT gate），但是在量子计算机中，量子比特情况相对复杂，存在叠加态、相位，所以单量子比特逻辑门会有更加丰富的种类。
量子比特门可以用下面这幅图来表示：
横线表示一个量子比特从左到右按照时序演化的路线，通俗点讲，就是
∣
ψ
0
>
\left|\psi_0\right>
∣ψ0⟩ 演变为
∣
ψ
1
>
\left|\psi_1\right>
∣ψ1⟩ 的路线；
蓝色方框表示量子逻辑门，这个图标表示一个名为 U U U 的逻辑门作用在这条路线所代表的量子比特上。
对于一个处于 ∣ ψ 0 > \left|\psi_0\right> ∣ψ0⟩ 的量子态，将这个量子逻辑门作用在上面时，相当于将这个代表量子逻辑门的酉矩阵左乘这个量子态的矢量，然后得到下一个时刻的量子态 ∣ ψ 1 > \left|\psi_1\right> ∣ψ1⟩： ∣ ψ 1 > = U ∣ ψ 0 > \left|\psi_1\right>=U\left|\psi_0\right> ∣ψ1⟩=U∣ψ0⟩ 。
这个表达式对于所有的单比特门或者多比特门都是适用的。对于一个有 n n n 个量子比特的量子系统，它的演化是通过一个 2 n × 2 n 2^n × 2^n 2n×2n 的酉矩阵来表达。
1.3.1 泡利矩阵
泡利矩阵（Pauli matrices）有时也被称作自旋矩阵（spin matrices）。有以下三种形式，分别是：
σ
x
=
(
0
1
1
0
)
σ
y
=
(
0
−
i
i
0
)
σ
z
=
(
1
0
0
−
1
)
\sigma _x=\left( \begin{matrix} 0& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right) \quad \sigma _y=\left( \begin{matrix} 0& -i\\ i& 0\\ \end{matrix} \right) \quad \sigma _z=\left( \begin{matrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{matrix} \right)
σx=(0110)σy=(0i−i0)σz=(100−1) 三个泡利矩阵所表示的泡利算符代表着对量子态矢量最基本的操作。
如将 σ x \sigma_x σx作用到 ∣ 0 > \left| 0 \right> ∣0⟩ 态上，经过矩阵运算，得到的末态为 ∣ 1 > \left| 1 \right> ∣1⟩ 态。
泡利矩阵的线性组合是完备的二维酉变换生成元，即所有满足
U
U
†
=
I
UU^†=I
UU†=I 的
U
U
U 都能通过下面这种方式得到：
U
=
e
−
i
θ
(
a
σ
x
+
b
σ
y
+
c
σ
z
)
U=e^{-i\theta \left( a\sigma _x+b\sigma _y+c\sigma _z \right)}
U=e−iθ(aσx+bσy+cσz)
1.3.2 常见逻辑门以及含义
· Hadamard (H) 门
形式：
H
=
1
2
[
1
1
1
−
1
]
H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& -1\\ \end{matrix} \right]
H=2
1[111−1] 线路表示：
功能：
- 作用在但量子比特上：将基态变为叠加态
1 2 [ 1 1 1 − 1 ] ∣ 0 > = ∣ 0 > + ∣ 1 > 2 \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& -1\\ \end{matrix} \right] \left| 0 \right> =\frac{\left| 0 \right> +\left| 1 \right>}{\sqrt{2}} 2 1[111−1]∣0⟩=2 ∣0⟩+∣1⟩ 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] ∣ 1 > = ∣ 0 > − ∣ 1 > 2 \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& -1\\ \end{matrix} \right] \left| 1 \right> =\frac{\left| 0 \right> -\left| 1 \right>}{\sqrt{2}} 2 1[111−1]∣1⟩=2 ∣0⟩−∣1⟩ - 作用在任意量子态
∣
ψ
>
=
α
∣
0
>
+
β
∣
1
>
\left| \psi \right> = \alpha\left| 0 \right> + \beta\left| 1 \right>
∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩ 上：
∣ ψ ′ > = H ∣ ψ > = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] [ α β ] = 1 2 [ α + β α − β ] = α + β 2 ∣ 0 > − α − β 2 ∣ 1 > \left| \psi ' \right> =H\left| \psi \right> =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \end{array} \right] =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} \alpha +\beta\\ \alpha -\beta\\ \end{array} \right] =\frac{\alpha +\beta}{\sqrt{2}}\left| 0 \right> -\frac{\alpha -\beta}{\sqrt{2}}\left| 1 \right> ∣ψ′⟩=H∣ψ⟩=2 1[111−1][αβ]=2 1[α+βα−β]=2 α+β∣0⟩−2 α−β∣1⟩
· Pauli-X 门
形式：
X
=
σ
x
=
[
0
1
1
0
]
X=\sigma _x=\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right]
X=σx=[0110] 线路表示：
功能：
- 作用在单量子比特上：是经典计算机 NOT 门的量子等价，即将量子态进行翻转，因此又称 NOT 门。
X ∣ 0 > = [ 0 1 1 0 ] [ 1 0 ] = [ 0 1 ] = ∣ 1 > X\left| 0 \right> =\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] =\left| 1 \right> X∣0⟩=[0110][10]=[01]=∣1⟩ X ∣ 1 > = [ 0 1 1 0 ] [ 0 1 ] = [ 1 0 ] = ∣ 0 > X\left| 1 \right> =\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] =\left| 0 \right> X∣1⟩=[0110][01]=[10]=∣0⟩ - 作用在任意量子态 ∣ ψ > = α ∣ 0 > + β ∣ 1 > \left| \psi \right> = \alpha\left| 0 \right> + \beta\left| 1 \right> ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩ 上： ∣ ψ ′ > = X ∣ ψ > = [ 0 1 1 0 ] [ α β ] = [ β α ] = β ∣ 0 > + α ∣ 1 > \left| \psi ' \right> =X\left| \psi \right> =\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \beta\\ \alpha\\ \end{array} \right] =\beta \left| 0 \right> +\alpha \left| 1 \right> ∣ψ′⟩=X∣ψ⟩=[0110][αβ]=[βα]=β∣0⟩+α∣1⟩
· Pauli-Y 门
形式：
Y
=
σ
y
=
[
0
−
i
i
0
]
Y=\sigma _y=\left[ \begin{matrix} 0& -i\\ i& 0\\ \end{matrix} \right]
Y=σy=[0i−i0] 线路表示：
功能：
-
作用在单量子比特上：作用效果为绕 Bloch 球 Y Y Y 轴旋转角度 π π π
Y ∣ 0 > = [ 0 − i i 0 ] [ 1 0 ] = [ 0 i ] Y ∣ 1 > = [ 0 − i i 0 ] [ 0 1 ] = [ − i 0 ] \begin{aligned} Y\left| 0 \right> &=\left[ \begin{matrix} 0& -i\\ i& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0\\ i\\ \end{array} \right] \\ Y\left| 1 \right> &=\left[ \begin{matrix} 0& -i\\ i& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -i\\ 0\\ \end{array} \right] \end{aligned} Y∣0⟩Y∣1⟩=[0i−i0][10]=[0i]=[0i−i0][01]=[−i0] -
作用在任意量子态 ∣ ψ > = α ∣ 0 > + β ∣ 1 > \left| \psi \right> = \alpha\left| 0 \right> + \beta\left| 1 \right> ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩ 上： ∣ ψ ′ > = Y ∣ ψ > = [ 0 − i i 0 ] [ α β ] = [ − i β i α ] = − i β ∣ 0 > + i α ∣ 1 > \left| \psi ' \right> =Y\left| \psi \right> =\left[ \begin{matrix} 0& -i\\ i& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -i\beta\\ i\alpha\\ \end{array} \right] =-i\beta \left| 0 \right> +i\alpha \left| 1 \right> ∣ψ′⟩=Y∣ψ⟩=[0i−i0][αβ]=[−iβiα]=−iβ∣0⟩+iα∣1⟩
· Pauli-Z 门
形式：
Z
=
σ
z
=
[
1
0
0
−
1
]
Z=\sigma _z=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{matrix} \right]
Z=σz=[100−1] 线路表示：
功能：
- 作用在单量子比特上：作用效果是绕 Bloch 球
Z
Z
Z 轴旋转角度
π
π
π
Z ∣ 0 > = [ 1 0 0 − 1 ] [ 1 0 ] = [ 1 0 ] Z ∣ 1 > = [ 1 0 0 − 1 ] [ 0 1 ] = [ 0 − 1 ] \begin{aligned} Z\left| 0 \right> &=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] \\ Z\left| 1 \right> &=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0\\ -1\\ \end{array} \right] \end{aligned}\\ Z∣0⟩Z∣1⟩=[100−1][10]=[10]=[100−1][01]=[0−1] - 作用在任意量子态 ∣ ψ > = α ∣ 0 > + β ∣ 1 > \left| \psi \right> = \alpha\left| 0 \right> + \beta\left| 1 \right> ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩ 上： ∣ ψ ′ > = Z ∣ ψ > = [ 1 0 0 − 1 ] [ α β ] = [ α − β ] = α ∣ 0 > − β ∣ 1 > \left| \psi ' \right> =Z\left| \psi \right> =\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \alpha\\ -\beta\\ \end{array} \right] =\alpha \left| 0 \right> -\beta \left| 1 \right> ∣ψ′⟩=Z∣ψ⟩=[100−1][αβ]=[α−β]=α∣0⟩−β∣1⟩
· 旋转门（rotation operators）：分别用不同的泡利矩阵作为生成元是构成 R X RX RX, R Y RY RY, R Z RZ RZ 的方法
三种旋转门的生成方式相同，这里以 RX 门为例。
泡利矩阵的线性组合是完备的二维酉变换生成元，即所有满足 U U † = I UU^†=I UU†=I 的 U U U 都能通过下面这种方式得到：
U = e − i θ ( a σ x + b σ y + c σ z ) U=e^{-i\theta \left( a\sigma _x+b\sigma _y+c\sigma _z \right)} U=e−iθ(aσx+bσy+cσz)
RX 门由 Pauli-X 矩阵作为生成元生成，其矩阵形式为：
R
X
(
θ
)
≡
e
−
i
θ
X
/
2
=
cos
(
θ
2
)
I
−
i
sin
(
θ
2
)
X
=
[
cos
(
θ
2
)
−
i
sin
(
θ
2
)
−
i
sin
(
θ
2
)
cos
(
θ
2
)
]
RX\left( \theta \right) \equiv e^{-i\theta X/2}=\cos \left( \frac{\theta}{2} \right) I-i\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) X=\left[ \begin{matrix} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)& -i\sin \left( \frac{\theta}{2} \right)\\ -i\sin \left( \frac{\theta}{2} \right)& \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)\\ \end{matrix} \right]
RX(θ)≡e−iθX/2=cos(2θ)I−isin(2θ)X=[cos(2θ)−isin(2θ)−isin(2θ)cos(2θ)] 线路表示：
作用在任意量子态
∣
ψ
>
=
α
∣
0
>
+
β
∣
1
>
\left| \psi \right> = \alpha\left| 0 \right> + \beta\left| 1 \right>
∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩ 上：
∣
ψ
′
>
=
R
X
(
π
2
)
∣
ψ
>
=
2
2
[
1
−
i
−
i
1
]
[
α
β
]
=
2
2
[
α
−
i
β
β
−
i
α
]
=
2
(
α
−
i
β
)
2
∣
0
>
−
2
(
β
−
i
α
)
2
β
∣
1
>
\left| \psi ' \right> =RX\left( \frac{\pi}{2} \right) \left| \psi \right> =\frac{\sqrt{2}}{2}\left[ \begin{matrix} 1& -i\\ -i& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \end{array} \right] =\frac{\sqrt{2}}{2}\left[ \begin{array}{c} \alpha -i\beta\\ \beta -i\alpha\\ \end{array} \right] =\frac{\sqrt{2}\left( \alpha -i\beta \right)}{2}\left| 0 \right> -\frac{\sqrt{2}\left( \beta -i\alpha \right)}{2}\beta \left| 1 \right>
∣ψ′⟩=RX(2π)∣ψ⟩=22
[1−i−i1][αβ]=22
[α−iββ−iα]=22
(α−iβ)∣0⟩−22
(β−iα)β∣1⟩
RX, RY, RZ 意味着将量子态在布洛赫球上分别绕着 X, Y, Z 轴旋转 θ 角度，所以 RX，RY 能带来概率幅的变化，而 RZ 只有相位的变化。
那么，共同使用这三种操作能使量子态在整个布洛赫球上自由移动！
1.4 多量子比特逻辑门
不论是在经典计算还是量子计算中，两比特无疑是建立比特之间联系的最重要桥梁。不同于经典计算中的与或非门及它们的组合，量子逻辑门要求所有的逻辑操作必须是酉变换，所以输入和输出的比特数量是相等的。
在描述两量子比特门之前，先将之前对于单量子比特的表示方式扩展一下。
联立两个量子比特或者两个以上的量子比特时，就用到复合系统中量子态演化的假设。
对于一个 n n n 量子比特 ∣ x n − 1 … x 0 > \left| x_{n-1}…x_0 \right> ∣xn−1…x0⟩ ， n n n 量子比特系统的计算基就由 2 n 2^n 2n 个单位正交矢量组成，借助于经典比特的进位方式对量子比特进行标记，从左到右依次是二进制中的从高位到低位，也就是说 ∣ x n − 1 … x 0 > \left| x_{n-1}…x_0 \right> ∣xn−1…x0⟩ 中 x n − 1 x_{n-1} xn−1 为高位， x 0 x_0 x0 为低位。
比如对于一个 2 量子比特的系统，其计算基分别记做：
其中红色标识所在位为高位，蓝色标识所在位为低位。
2 比特量子逻辑门的线路表示：
每根线表示一个量子比特演化的路线，这和单比特门中的横线是类似的，不一样的是这两根线有位次之分，从上到下依次分别表示从低位到高位的量子比特演化的路线。
这个图标横跨两个量子比特，它代表将一个两比特门作用在这两个量子比特上。
· 控制非门（Control-NOT）（CNOT 门）
若低位为控制比特，那么它具有如下的矩阵形式：
C
N
O
T
=
[
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
]
CNOT=\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \end{matrix} \right]
CNOT=⎣⎢⎢⎡1000000100100100⎦⎥⎥⎤ 线路表示：
含实点的路线对应的量子比特称为控制比特（control qubit），含
+
+
+ 的路线对应的量子比特为目标比特（target qubit）。
这周的内容就先写到这里，祝大家新一周愉快！