算法概论第八章课后习题8.8

题目：在精确的4SAT(EXACT4SAT)问题中，输入为一组子句，每个句子都是恰好为4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。

证明：首先证明4SAT与3SAT等价，4SAT子句的形式（a1, a2 ,a3 ,a4）,可以通过新增两个变量来将其拆分分成两个包含三个文字的子句:(a1,a2, y)(y^,a3,a4).
可以证明 ，满足（a1, a2 ,a3 ,a4）⇐⇒满足(a1,a2, y)(y^,a3,a4)
左边满足时至少有一个文字为真，那么右边的两个子句中新增的两个文字都存在一个取值使两个子句满足，若a1或者a2取值为真则令y^，若a3或者a4为真则令y为真。
右边满足时由于y^和y的取值必有一个是假，所以a1, a2 ,a3 ,a4中至少有一个为真。以上证明满足（a1, a2 ,a3 ,a4）⇐⇒满足(a1,a2, y)(y^,a3,a4)
因此4SAT的任意实例都可以转换为3SAT的一个等价的实例,由此可证明4SAT是NP-完全问题.
精确4SAT是4SAT的一个附加限制版本。证明类似于《算法概论》第273页中3SAT到起一个附加限制版本的规约的证明，这里就不再详述了。

因此精确的4SAT是NP-完全问题。