数学模型简介

Mathematical Models 数学模型

数学模型是用来描述自然世界的

数学模型描述了自然界的变化规律
数学模型为我们提供了定量分析和定性分析的途径
数学模型可以由以下方式进行求解：
- Analytically: Solve by hand
- Numerically: Solve by computer
数学模型通常是用 Mathematical objects 数学对象和等式构成的
数学对象分为变量和参数：
- 变量 variable ：会随着现象改变
  - 离散变量：Smoothly (比如时间 $t$ )
  - 连续变量：Consecutive （比如数量 $N$ ）
- 参数 parameter：不会随着现象改变
- 数学模型中最常用的变量： $t$ 时间

自然界中数学模型有两种分类： Deterministic，Stochastic. 进一步根据变量的性质又可分为离散和连续，两者分别用数列和函数表示；它们都可以用微分方程来描述；微分方程有两类：常微分方程 Ordinary Differential Equation 和偏微分方程 Partial Differential Equation。以上的叙述可以有下面的图来刻画。

Process of Mathematical Modelling 数学模型建立过程

数学家或物理学家在建立模型的过程中都有自己的偏爱，但大致的建模流程十分相似：针对所要描述的系统用微分方程进行刻画，根据实际情况进行模型的求解，求解之后便要对模型进行解读：即我们所建立的模型告诉了我们什么信息。模型的建立并不是一蹴而就的，通常需要根据现实的数据不断进行完善。

Assumption 假设

自然世界是十分复杂的，因此我们的建模过程是充满挑战的
为了使数学模型简化，我们需要根据实际情况提出适当的假设
作出的假设需要合理
假设的提出至关重要，但有些假设十分容易被当作理所当然的事实
常见的模型假设：忽略空气阻力、忽略摩擦力、物体可看成一个质点、重力加速度为 $10 ms^-2$ 等

Application of Mathematical Modelling 数学模型的应用

下面列举常见的数学模型的应用

经典力学：描述物体的运动
现代物理：物质的放射衰变
化学：化学反应
生物：传染病模型
生态学：人口增长、捕食者和被捕食者的数量关系

The Most Classical Model 最经典的模型

$F = ma$ , 这是微分方程最简单也是最经典的模型

If I have seen farther than other men, it is because I have stood on the shoulders of giants.

–Isaac Newton

牛顿第二定律 Newton Second Law $ F = ma $

让我们来改写一下这个式子

因为 $a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

所以 $F = m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$

我们引入动量（momentum）这个概念，牛顿第二定律也可以写成下面这种形式

因为 $p=mv$

所以
$F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}$

更加标准的形式：

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=\frac{F}{m}$

Summary 总结

数学模型用于描述自然世界
变量、参数以及等式组成了数学模型
模型求解过程可以有分析性解法和数值近似解法
假设用来简化数学模型
牛顿第二定律可以改写成二阶微分方程形式