线性代数(三) 矩阵乘法与线性变换复合

  考虑一个变换: 逆时针旋转 90°, 再剪切一个单位, 变换后的 i⃗ $\overrightarrow{i}$, j⃗ $\overrightarrow{j}$ 的矩阵是 [11−10]$\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$, 但是很明显, 我们实际上进行了两个动作, 我们通过直观上的观察得出的是最后的整体效应.
  那么, 现在让我们来分别考虑两个过程, 再重新进行上述的变换.
  1. [01−10]$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$– 逆时针旋转 90°
  2. [1011]$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ – 剪切一个单位
  那么对于任意的一组 [xy]$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$, 下面这个等式都应该成立 !
  

[1011]([01−10][xy])[1011][01−10]=[11−10][xy]=[11−10](34)(35)(36)$$\begin{array}{}\text{(34)}& \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\right)& =\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{(35)}& \text{(36)}& \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$

  看我们得到了什么! 把这个式子定义成矩阵乘法是相当合理的.
  还记得我们之前说的么? 所谓 “变换”, 是为了让我们用运动去思考.
  矩阵乘法并不是课本上的一个枯燥的公式, 矩阵乘法表示的意义是几个变换的相继作用.
  另外, 你有没有注意到我们的公式是从右向左读的? 先发生的变换反而在公式的左边. 这是为什么呢?
  这又要说回之前提到的: “变换” 其实就是一个 “函数”. 这个复合函数 f(g(x))$f(g(x))$ 是不是更眼熟一些~ 我们把变换写在左边的原因就是我们会把函数写在变量的左边, 于是我们的乘法公式就变成了从右向左读.
  注意这是在我们使用列向量来讨论时的情况, 当使用行向量的时候由于矩阵乘法需要保持矩阵內维相等, 阅读顺序会变成从左向右.

---

  接下来我们来推广矩阵乘法的定义.
  用变换来思考 [acbd][egfh]$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]$
  i⃗ $\overrightarrow{i}$ 经过第一次变换变成了 [eg]$\left[\begin{array}{c}e\\ g\end{array}\right]$, 再经过第二次变换[acbd][eg]⇒e[ac]+g[bd]⇒[ae+bgce+dg]$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ g\end{array}\right]\Rightarrow e\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+g\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}ae+bg\\ ce+dg\end{array}\right]$
  对 j⃗ $\overrightarrow{j}$ 做同样的处理, 我们最终就得到了 [ae+bgce+dgaf+bhcf+dh]$\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$
  看~ 这不就是矩阵乘法的公式.

---

  用连续的变化来思考矩阵的乘法, 会帮助我们更直观的理解矩阵的性质.
  比如结合律: (AB)C=A(BC)$(AB)C=A(BC)$. 如果用公式推导的方式来证明这个定律, 你可能需要写非常长的一个矩阵等式, 当矩阵维度增加时计算量更是爆炸式的增长. 但是如果你站在变化的角度来看, 不管怎么结合, 施加变换的顺序都是 C⇒B⇒A$C\Rightarrow B\Rightarrow A$. 看! 这个定律就是这样显而易见, 根本就不需要证明嘛!

  那么交换律又为什么无法被矩阵乘法满足呢?
  假设 M1$M_1$ 是旋转, M2$M_2$ 是剪切, 那么 M1M2$M_1{M}_2$, M2M1$M_2{M}_1$ 都表示了什么变换呢?
  
  可见 M1M2$M_1{M}_2$ 最终使 i⃗ $\overrightarrow{i}$, j⃗ $\overrightarrow{j}$ 靠近, M2M1$M_2{M}_1$ 最终使 i⃗ $\overrightarrow{i}$, j⃗ $\overrightarrow{j}$ 远离.