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在数据建模时，经常会用到多元高斯分布模型，下面就这个模型的公式并结合它的几何意义，来做一个直观上的讲解。
1， 标准高斯函数
高斯函数标准型：
这个函数描述了变量 x 的一种分布特性，变量x的分布有如下特点：
Ⅰ， 均值 = 0
Ⅱ， 方差为1
Ⅲ， 概率密度和为1
2， 一元高斯函数一般形式
一元高斯函数一般形式：
我们可以令：
称这个过程为标准化， 不难理解，，从z->x的过程如下：
Ⅰ， 将 x 向右移动 μ 个单位
Ⅱ， 将密度函数伸展 σ 倍
而标准化(x -> z)所做的事情就是上述步骤的逆向
唯一不太好理解的是前面 中的σ， 为什么这里多了一个 σ， 不是 2σ 或其他？
当然，这里可以拿着概率密度函数的性质，使用微积分进行积分，为了保证最终的积分等于1， 这里必须是 σ
这里我想说一下自己的直观感受：
实线代表的函数是标准高斯函数：
虚线代表的是标准高斯函数在 x 轴方向2倍延展，效果如下：
A(x = 1) -> D(x = 2)
E(x = 1.5) -> F(x = 3)
G(x = 2) -> H(x = 4)
横向拓宽了，纵向还是保持不变，可以想象，最后的函数积分肯定不等于1
采用极限的思想，将 x 轴切分成无穷个细小的片段，每个片段可以与函数围城一个区域，因为我的切分足够小，这个区域的面积可以近似采用公式：面积 = 底 × 高 求得：
从 AQRS -> DTUV， 底乘以2倍，高维持不变，所以，要保持变化前后面积不变，函数的高度应该变为原来的 1/2
所以高斯函数在 x 轴方向做2倍延展的同时，纵向应该压缩为原来的一半，才能重新形成新的高斯分布函数
扩展到一般情形，x 轴方向做 σ 倍延拓的同时， y 轴应该压缩 σ 倍（乘以 1/σ）
3, 独立多元正态分布先假设n个变量 互不相关，且服从正态分布（维度不相关多元正态分布），各个维度的均值
， 方差
。根据联合概率密度公式：
令,
这样多元正态分布又可以写成一元那种漂亮的形式了(注意一元与多元的差别)：
因为多元正态分布有着很强的几何思想，单纯从代数的角度看待z很难看出z的概率分布规律，这里需要转换成矩阵形式：
等式比较长，让我们要做一下变量替换：
定义一个符号
∑代表变量 X 的协方差矩阵， i行j列的元素值表示与
的协方差。
因为现在变量之间是相互独立的，所以只有对角线上 (i = j)存在元素，其他地方都等于0，且与它本身的协方差就等于方差
∑是一个对角阵，根据对角矩阵的性质，它的逆矩阵：
对角矩阵的行列式 = 对角元素的乘积
替换变量之后，等式可以简化为：
代入以z为自变量的标准高斯分布函数中：