主定理学习笔记

主定理用于求递推方程的阶。

设a>=1, b>1为常数，f(n)为函数，T(n)为非负整数，且

T(n) = aT(n/b) + f(n)

（注意a、b取值范围）

• a代表递归调用子问题的个数(子问题数>=小于原问题，故a>=1)
• n / b代表子问题规模（子问题规模一定是递减的，否则问题无法收敛，故b>1）
• f(n)代表把子问题的解组合成原问题的总工作量

有以下三种结果：

1. 若f(n) = O(n^log_ba-ε)，ε>0，则T(n) = Θ(n^log_ba)
2. 若f(n) = Θ(n^log_ba)，则T(n) = Θ(n^log_ba logn)
3. 若f(n) = Ω(n^log_ba+ε)，ε>0，且对于某个常数c<1和所有充分大的n有af(n/b) <= cf(n)，则T(n) = Θ(f(n))

例1

T(n) = 9T(n/3) + n

a = 9, b = 3, log_ba = 2，符合1式，得T(n) = Θ(n²)

例2

T(n) = T(2n/3) + 1

a = 1, b = 3/2, log_ba = 0，符合2式，得T(n) = Θ(logn)

例3.1

T(n) = 3T(n/4) + nlogn

a = 3, b = 4, log_ba = log₄3

且要使a * f(n/b) = 3 * (n/4) * log (n/4) <= cnlogn， 得c>=3/4 - 3/(2logn)，c>=3/4即对充分大的n成立。

符合3式，得T(n) = Θ(nlogn)

例3.2

T(n) = 2T(n/2) + nlogn

a = 2, b = 2, log_ba = 1，貌似符合3式；

但事实上找不到ε>0使得nlogn = Ω(n^log_ba+ε)成立，因为logn的阶低于任何幂函数n^ε（ε>0）。

所以并不符合3式，不能用主定理。应使用递归树求解：

T(n) = nlogn + n(logn-1) + n(logm-2) + …… = O(nlog²n)