Computer Vision笔记01：图像处理

Computer Vision笔记01：图像处理Part 1

• 什么是图像处理（Image Processing）？
• 图像处理（Image Processing）的分类
• 空间域处理（Spatial Operation）
• 基本的灰度变换（Intensity Transformation）
• 灰度反转（Intersity Inversion）
• 对数变换（Log Transformation）
• 幂律（伽马）变换（Power Transformation）
• 分段线性变换（Piecewise Linear Transformations）
• 对比度拉伸（Contrast Stretching）
• 对比度阈值化（Intensity Thresholding）
• 分段对比度拉伸（Piecewise Contrast Stretching）
• 灰度级分层（Gray-level Slicing）
• 比特平面分层（Bit-plane Slicing）
• ==直方图处理（Histogram Processing）==
• 直方图均衡（Histogram Equalization）

第一次在CSDN写博客。由于最近在学习计算机视觉 (CV) 课程，为了更系统性的梳理内容，所以整理了这份笔记。既然是计算机视觉课程，那么以图片这种更为直观的形式，可以大大降低理解的难度，因此我会在本篇笔记中多以图片的形式进行理解。

由于本人以冈萨雷斯的《数字图像处理（第三版）》作为辅助教材进行学习，因此会有很多来自于本书的图片

什么是图像处理（Image Processing）？

从图像处理到计算机视觉这个连续统一体内没有明确的界限。一种有用的范例是考虑三种典型的计算处理，即低级、中级、高级处理：

1. 初级处理（Image Processing）：比如降噪、对比度增强、图像锐化等图像预处理操作。主要的目的是抑制图像的畸变 (Distortion)，增强图像的相关信息，为了后续的图像分析与解释做好准备。初级处理（Image Processing）的主要特征是输入和输出都是图像（Image）
2. 中级处理（Image Analysis）：涉及诸多任务，典型的有图像分割（Image Segmentation），即将一幅图像分为不同的区域和目标。中级处理（Image Analysis）的特征是输入是图像（Image），但是输出是从图像中提取出的特征（Features）
3. 高级处理（Image Interpretation）：涉及“理解”已识别的目标图像的总体，执行与人类视觉相关的认知功能，这也是计算机视觉（Computer Vision）的主要任务。高级处理（Image Interpretation）的特征是输入为图像（Image），输出是对图像的解释/理解（Interpretation）

由此可以明显地看出，图像处理（Image Processing）主要是针对图像自身属性的一系列操作，是为了在进行更深入的图像分析时，能有符合需求的图像而进行的预处理。

图像处理（Image Processing）的分类

图像处理（Image Processing）主要分为两类：

1. 空间域操作（Spatial Domain Operation）：空间域（Spatial Domain）指图像平面本身。这类图像处理方法直接以图像中的像素（Pixels）操作为基础。又可细分为两类：
   1. 点操作（Point Operation）：在单个像素上进行的灰度变换 （intensity transformations on individual pixels），主要以对比度和阈值处理为目的。
   2. 邻域操作（Neighbourhood Operation）：在一组像素上进行的空间滤波（spatial filtering on groups of pixels），是涉及改善性能的操作。
2. 变换域操作（Transform Domain Operation）：这里的变换域主要指的是傅里叶空间（Fourier Space），也就是我们常说的频域（Frequency Domain）。具体的操作为：首先要把图像变换到频域，在频域内进行处理，再用反变换把处理后的图像（Processed Image）返回到空间域（Spatial Domain）

下面，我们将首先从空间域的图像处理开始看起

空间域处理（Spatial Operation）

对于空间域的操作，我们可以用以下公式来表示：

在该公式中：
f(x, y) ：输入图像（Input Image）
g(x, y) ：处理后的图像（Processed Image）
T[ ] ：在点 （x, y） 上定义的关于图像f 的算子

当然，我们也可以将上述的公式，以灰度级（Gray Level）的形式呈现：

此时：
s 和 r 分别表示图像g 和 f 在任意点 (x, y) 的灰度

基本的灰度变换（Intensity Transformation）

灰度反转（Intersity Inversion）

使用反转变换可以得到灰度范围为 [0, L-1] 的一幅图像的反转图像，即等效的照片底片。该变换特别适合用于增强嵌入在图片暗区域中的灰色/白色细节。

用图片直观的感受一下：

对数变换（Log Transformation）

其中c为常数。这一变换会把输入图像 (Input Image)中范围较窄的低灰度值映射为输出图像(Output Image)中较宽范围的灰度值，对高的输入灰度值进行相反操作。这一变换用于扩展图像中的暗像素的值，同时压缩更高灰度级的值。即压缩像素值变化较大的图像的动态范围。

具体的效果展示会放在之后的频域变换中，这里我们只给出对数变换的的曲线：

幂律（伽马）变换（Power Transformation）

这里给出幂律变换的曲线：

可以与对数变换 (Log Transformation) 类似，部分 γ 值的幂律变换会把较窄的暗色域映射为较宽的输出值，对输入的高灰度级值也成立。但是，随着 γ 值的增大，曲线会发生变化。

简单的来说，当 γ < 1 时生成的曲线的效果与 γ > 1 时完全相反，而当 γ = 1 时，就是一个恒等变换。

对于幂律变换的作用，这里有几个需要特别说明：

1. 伽马 (γ) 校正：用于显示、打印等的各种设备根据幂律产生响应，用于校正这些幂律响应的处理即为伽马校正。比如，某个设备的响应是一个指数为2.5的幂函数。这时，该设备显示的图像比输入的图像偏暗，因此我们在图像输入到该设备之前，进行预处理，即进行
   此时输入到相同设备，输出的图像接近原图。γ 要根据不同的设备进行设定。

2. 对比度增强：对比度增强需要根据图像本身的特点来进行操作。我们要铭记当 γ > 1 和 γ < 1 时，产生的效果是完全不同的。这里给两个例子来体会一下：
   

分段线性变换（Piecewise Linear Transformations）

对比度拉伸（Contrast Stretching）

为了生成有更高对比度的图片；
将输入图像 (Input Image) 中低于L的灰度值，在输出图像 (Output Image) 中全部设为黑（灰度值为0）；
将输入图像 (Input Image) 中高于H的灰度值，在输出图像 (Output Image) 中全部设为白（灰度值为255）；
将输入图像 (Input Image) 中L到H之间的灰度值，进行线性缩放 (Linearly Scale)；

对比度阈值化（Intensity Thresholding）

极限情况的对比度拉伸 (Intensity Stretching)；
生成二值化的灰度图 (Binary Image)；
低于阈值 (Thresholding) 的灰度值全部置为黑 (0)；
大于等于阈值 (Thresholding) 的灰度值全部置为白 (255)；
常用于图像分割 (Image Segmentation) ；
仅用于目标 (Object) 和背景 (Background) 相差巨大的情况；

在这里介绍2种经典的自动灰度阈值化 (Automatic Intensity Thresholding)

大津算法 (Otsu’s Method):
大津算法的思想是通过穷举搜索 (Exhaustively Search) 寻找一个阈值 (Thresholding) 以：

最小化类内方差 (intra-class variance)

最大化类间方差 (inter-class variance)

p₀ 是小于阈值的像素的比例（class 0）
p₁ 是da于阈值的像素的比例（class 1）
所以 p₀ + p₁ = 1
????₀ 和 ????₁ 是class 0 和 class 1 像素的平均灰度值
????₀² 和 ????₁² 的灰度方差

大津算法的核心思想就是让同一类更接近，不同类之间更有区分度

Iso-data聚类算法
具体的实现步骤：

1. 选择一个任意的初始化阈值t
2. 对应阈值计算两个类别的均值 ????₀ 和 ????₁
3. 根据均值的均值更新 t ： t = （ ????₀ + ????₁ ）/ 2
4. 若在3中，t 的值被改变，则回到2，继续

直到 t 收敛 (Convergence)，阈值就是两个类别的均值的中点 (Midway)

分段对比度拉伸（Piecewise Contrast Stretching）

这一操作的具体形式实际上和普通的对比度拉伸（Contrast Stretching）类似，我们从曲线图就可以很直观的了解：

用于增加图像灰度级的动态范围 (Dynamic Range of gray level)
一般用于显示设备或录制介质以覆盖全范围

灰度级分层（Gray-level Slicing）

用于突出图像中特定范围的灰度级
有两种分层方式：

1. 一部分灰度全部分为高值，一部分全部分为低值，因此会生成一幅二值图
   注意：并不是像阈值化一样全部分为黑白
2. 亮化一部分想要的灰度，同时保留背景和其他部分的灰度级

比特平面分层（Bit-plane Slicing）

这个技术实际上很好理解。像素 (Pixel) 是由比特组成的数字。比如我们常用的256级灰度图，每个像素的灰度由8bits组成，因此这时候就有8个比特平面：

比特平面分层用以凸显出特定比特对于图像整体的贡献度；
对于图像压缩 (Image Compression) 很有用。

直方图处理（Histogram Processing）

在计算机视觉中，灰度直方图 (Histogram of pixel intensity) 是一个即极为重要的概念。

简单的来说，对于一幅图像中所有可能的灰度级，我们统计每个灰度级，有多少像素拥有这个灰度值，最后根据结果绘制出的图就是灰度直方图。

用正式一些的语言来定义，即为：
灰度范围为 [0, L-1] 的数字图像的直方图是离散函数 h(r_k) = n_k ，其中 r_k 是第k级灰度值， n_k 是图像中灰度为 r_k 的像素个数。若用 M 和 N 表示图像的行和列的维数，那么归一化后的灰度直方图由 p(r_k) = n_k / MN 给出，其中 k = 0, 1, …, L-1，p(r_k) 是灰度级 r_k 在图像中出现的概率的一个估计，且所有p之和为1。

所以归一化后的灰度直方图，即为概率函数。(Normalized Histogram = Probability Function)

灰度直方图的处理主要分为两类：

1. 直方图均衡 (Histogram equalization)
   直方图均衡的目的，是为了得到一幅在整个灰度范围内，灰度级均匀分布的图像
   (To get an image with equally distributed intensity levels over the full intensity range)
2. 直方图匹配/规定化 (Histogram matching/Histogram specification)
   直方图匹配是为了得到一幅具有指定的直方图形状（灰度分布）的图像
   (To get an image with a specified intensity distribution, determined by the shape of the histogram)

接下来将对这两种处理方法进行介绍。

直方图均衡（Histogram Equalization）

首先，我们要知道为什么要进行直方图均衡，先来看以下四幅图像及其灰度直方图：

从以上一系列图片，我们很容易得到以下结论：

1. 在暗图像中，直方图的分量主要集中在灰度级的低（暗）端，即横坐标左边
2. 在亮图像中，直方图的分量主要集中在灰度级的高（亮）端，即横坐标右边
3. 低对比度的图像具有较窄的直方图，且集中在灰度级的中部
4. 高对比度的图像，直方图的分量覆盖了很狂的范围，且分布的很均匀

因此我们可以得到一个结论：若一幅图像的像素倾向于覆盖所有可能的灰度级，且分布均匀，那么会有高对比度的外观且表现出灰度的鲜明变化。这也是我们想要使用直方图均衡的原因。

接下来，我们来看直方图均衡的具体原理：
首先，我们回顾之前提到的图像灰度级的变换公式：

这里我们先考虑连续灰度值，r 的取值范围为 [0, L-1]
假设该公式满足以下两个条件：

1. T( r ) 在 [0, L-1] 上严格单调递增
2. 当 0 ≤ r ≤ L - 1 时，0 ≤ T( r ) ≤ L - 1

因为之后的解释中，我们需要使用反变换：

所以，条件1是为了保证在从s反变换到r时，是一对一映射，不会有一对多的情况；条件2是为了保证输入灰度级与输出灰度级范围相同。这里用一张图就能直观理解：

对于连续随机变量 r 和 s，我们可以用它们的概率密度函数 (PDF) 来进行描述。
令p_r( r ) 和 p_s( s ) 分别表示 r 和 s 的PDF。
由基本的概率论我们可以得到一个结论，若 T( r ) 和 p_r( r ) 已知，同时 T( r ) 是连续且可微的，则映射后的变量 s 的PDF可由下式得到：

公式1：
由此我们可知，输出灰度变量 s 的PDF由输入灰度变量 r 的PDF和变换函数决定
我们选择变换公式
公式2：
公式的右边为随机变量 r 的累积分布函数 (CDF)。由于PDF总为正，积分表现为函数曲线下方的面积，因此变换公式满足条件1。该等式上限为 r = L - 1 此时的积分值为1，这时 s 的值为 L -1，因此也满足条件2。
为了求得相应变换的 p_s( s ) ，我们需要使用公式1，因此我们需要知道 dr/ds。根据莱布尼茨准则我们知道，关于上限的定积分的导数等于被积函数在该上限的值，因此：

将该式代入公式1，我们可得到：

显然，这是一个均匀概率密度函数 (uniform distribution)。简而言之，我们证明了，执行公式2的灰度变换函数，得到的随机变量 s 由一个均匀PDF表征。

对于离散值，我们处理其概率（归一化后的灰度直方图的值）与求和来代替连续变量处理中的PDF和积分，则：

公式3：
这样输出图像 (Outpt Image) 通过上式将输入图像中灰度值为 r_k 的各像素映射到输出图像中灰度值为 s_k 的对应像素。

我们用一个例子来具体感受一下：

由题目可知，该图像的灰度级 L = 2³ = 8，因此灰度级范围为 [0, 7]。同时 M = N = 64，所以 MN = 4096.

直方图均衡的输出由公式3可以计算得到：


以及 s₂ = 4.55, s₃ = 5.67, s₄ = 6.23, s₅ = 6.65, s₆ = 6.86, s₇ = 7.00
因为这些值都是用概率值求和得到，所以都是小数，而灰度值是整数，所以要把这些值近似为最接近的整数：

这就是直方图均衡的整个过程，最后，我们再用图的形式体现一遍：