线性代数：矩阵的逆

关于矩阵的逆有很多性质和定理，例如，可逆矩阵一定是方阵、满秩矩阵、非奇异矩阵，可逆矩阵的行列式的值不为零等等。在证明一个矩阵是不可逆矩阵时，Strang教授讲了一种几何的思路：

矩阵不可逆的证明

根据可逆矩阵的定义，如果方阵$\mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I}$A∗B=I，则$\mathbf{A}$A和$\mathbf{B}$B互称逆矩阵。下面是一个二维不可逆矩阵的例子，有矩阵$\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$A=[12​24​]，如果$\mathbf{A}$A可逆，则有$\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} * \mathbf{B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$[12​24​]∗B=[10​01​]，对矩阵$\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$[12​24​]中的两个列向量作某种线性组合会得到列向量$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$[10​]。从图上可以很明显看出来，不管是什么线性组合都无法得到列向量$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$[10​]，所以，矩阵$\mathbf{A}$A不是可逆矩阵。

Strang教授把大部分抽象的矩阵运算用几何的思维呈现，非常有利于理解矩阵。

求逆

我们可以用高斯消元法（Gauss Elimination）求解方程组的解，在求矩阵的逆时则可以用高斯-若尔当消元法（Gauss-Jordan Elimination）。
方程组可以用$\mathbf{A} * \mathbf{x} = \mathbf{b}$A∗x=b来表示，通过对增广矩阵$\begin{bmatrix}\mathbf{A}\text{\textbar}\mathbf{b}\end{bmatrix}$[A|b​]进行初等变换，然后再用“回代”法即可求得方程组的解。在求矩阵的逆时（$\mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I}$A∗B=I），可以把矩阵$\mathbf{B}$B看成多个列向量（$\mathbf{x}$x）的组合，那么求解矩阵$\mathbf{A}$A的逆就可以看成是同时求解多个方程组，即通过初等变换将增广矩阵$\begin{bmatrix}\mathbf{A}\text{\textbar}\mathbf{I}\end{bmatrix}$[A|I​]变换成$\begin{bmatrix}\mathbf{I}\text{\textbar}\mathbf{B}\end{bmatrix}$[I|B​]，得到的矩阵$\mathbf{B}$B即为$\mathbf{A}$A的逆矩阵。