Computer Graphics note(1):变换

文章目录

• Computer Graphics note(1):变换
• 2D变换
• 1.Scale(缩放)
• 2.Shear(切变)
• 3.Rotate(旋转)
• 旋转矩阵的性质
• 4.Translation(平移) & 齐次坐标
• 仿射变换(affline transformations)
• 变换矩阵的结构性质
• 齐次坐标下的变换矩阵
• Scale:
• Rotation:
• Translation:
• 其他变换
• 1.Inverse Transform(逆变换)
• 2.Composite transform(复合变换)
• 结论
• 3.Decomposite transform(变换分解)
• 3D变换
• 前提(右手系)
• 齐次坐标表示
• 变换矩阵的结构性质
• 齐次坐标下的变换矩阵
• Scale:
• Translation:
• Rotation

Computer Graphics note(1):变换

Games101清新脱俗，可惜没赶上直播。
官网：http://games-cn.org/intro-graphics/
结合食用：Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) or (2nd Edition)

2D变换

对于能写成$X^{'}=MX$X′=MX形式的变换，称为线性变换(Linear Transforms)，其中$M$M为变换矩阵。

1.Scale(缩放)

基本的缩放就是沿着坐标轴进行的缩放，而对于xy轴任意比例缩放$s_x,s_y$sx​,sy​而言，其数学形式如下：

$\begin{cases} x'=s_x*x \\ y'=s_y*y \end{cases}${x′=sx​∗xy′=sy​∗y​
转换为矩阵形式($(x,y)^T$(x,y)T左边的矩阵为变换矩阵)如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$[x′y′​]=[sx​0​0sy​​][xy​]

例如下图为沿着xy轴都缩放0.5：

水平镜像也属于缩放操作，即$s_x=-1,s_y=1$sx​=−1,sy​=1,其矩阵表示如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$[x′y′​]=[−10​01​][xy​]

2.Shear(切变)

切变只变化一边，如下图所示：

可见，上面是变化了x轴，其矩阵形式如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$[x′y′​]=[10​a1​][xy​]
同理，对于变化y轴，其矩阵形式如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$[x′y′​]=[1a​01​][xy​]

3.Rotate(旋转)

对于旋转而言，前提是默认绕原点旋转，方向为逆时针。$x$x轴转转向$y$y轴。
对于一个向量$a$a,其与$x$x轴夹角为$α$α假设要将其旋转角度$φ$φ得到向量$b$b,如下图所示(图来源:Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation)：

其旋转矩阵如下：
$R(φ) \begin{bmatrix} cosφ & -sinφ \\ sinφ & cosφ \end{bmatrix}$R(φ)[cosφsinφ​−sinφcosφ​]
推导过程1如下（来自Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation）：
假设向量$a$a的长度为$r$r,则有
$\begin{cases} x_a=rcosα \\ y_a=rsinα \end{cases}${xa​=rcosαya​=rsinα​
而$b$b是$a$a旋转得到的，所以长度相同，而其旋转角度为$(α+φ)$(α+φ),则有
$\begin{cases} x_b=rcos(α+φ)=rcosαcosφ - rsinαsinφ \\ y_b=rsin(α+φ)=rsinαcosφ + rcosαsinφ \end{cases}${xb​=rcos(α+φ)=rcosαcosφ−rsinαsinφyb​=rsin(α+φ)=rsinαcosφ+rcosαsinφ​
将上面的式子带入下面的式子可以得到如下结果：
$\begin{cases} x_b=x_acosφ - y_asinφ \\ y_b=y_acosφ + x_asinφ \end{cases}${xb​=xa​cosφ−ya​sinφyb​=ya​cosφ+xa​sinφ​
所以最终的旋转矩阵如下：
$R(φ) \begin{bmatrix} cosφ & -sinφ \\ sinφ & cosφ \end{bmatrix}$R(φ)[cosφsinφ​−sinφcosφ​]

推导过程2(课程提及，辅助理解记忆)如下

考虑旋转矩阵对于任意点都适用，所以考虑几个特殊点的转换：$(1,0)->(cosθ,sinθ)，(0,1)->(cosθ,-sinθ)$(1,0)−>(cosθ,sinθ)，(0,1)−>(cosθ,−sinθ)。所以有下列关系:
$\begin{cases} \begin{bmatrix} cosθ \\ sinθ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} -sinθ \\ cosθ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​[cosθsinθ​]=[AC​BD​][10​][−sinθcosθ​]=[AC​BD​][01​]​

从中可以得到如下结果,即为所求:

$\begin{cases} A = cosθ \\ C = sinθ \\ B = -sinθ \\ D = cosθ \\ \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​A=cosθC=sinθB=−sinθD=cosθ​

旋转矩阵的性质

考虑旋转$R(-φ)$R(−φ),会发现等于$R_φ^T$RφT​,如下所示:
$R(-φ) \begin{bmatrix} cosφ & -sinφ \\ sinφ & cosφ \end{bmatrix} =R_φ^T$R(−φ)[cosφsinφ​−sinφcosφ​]=RφT​
而从定义上看，$R(-φ)$R(−φ)=$R_φ^{-1}$Rφ−1​，所以可以得到$R_φ^{-1}$Rφ−1​=$R_φ^T$RφT​，即旋转矩阵的逆等于其转置矩阵，也就是说旋转矩阵为正交矩阵(数学意义)。

4.Translation(平移) & 齐次坐标

对于平移而言，即使考虑只有平移的情况，我们也只能写成如下形式：
对于平移:
$\begin{cases} x'= x + t_x \\ y'= y + t_y \end{cases}${x′=x+tx​y′=y+ty​​
其矩阵形式如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$[x′y′​]=[10​01​][xy​]+[tx​ty​​]

为了让平移和上面的线性转换统一，引入齐次坐标。对于2D变换，增加一个维度$w$w，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：

$point=(x,y,1)^T \\ vector=(x,y,0)^T$point=(x,y,1)Tvector=(x,y,0)T
即对于齐次坐标而言，$(x,y,w)^T(w!=0)$(x,y,w)T(w!=0)表示的点即为$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},1)^T$(wx​,wy​,1)T。
则对于平移而言，其矩阵形式表示变为：
$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ w' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x+t_x \\ y+t_y \\ 1 \end{bmatrix}$⎣⎡​x′y′w′​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​x+tx​y+ty​1​⎦⎤​

这样一来形式就得到统一，并且使用齐次坐标还能保证以下操作的正确性：
$vector +vector=vector; \\ point - point =vector;\\ point +vector =point;\\$vector+vector=vector;point−point=vector;point+vector=point;
而对于$point+point$point+point原本是无意义的，但是在齐次坐标下也能引申出其他意义，即两点相加为其中点，推导过程如下：
$\begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x_2 \\y_2\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\y_1+y_2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{x_1+x_2}{2} \\ \frac{y_1+y_2}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$⎝⎛​x1​y1​1​⎠⎞​+⎝⎛​x2​y2​1​⎠⎞​=⎝⎛​x1​+x2​y1​+y2​2​⎠⎞​=⎝⎛​2x1​+x2​​2y1​+y2​​1​⎠⎞​

仿射变换(affline transformations)

仿射变换 = 线性变换 +平移，即为
$\begin{bmatrix}x' \\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a&b \\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t_x \\t_y\end{bmatrix}$[x′y′​]=[ac​bd​][xy​]+[tx​ty​​]

使用齐次坐标表示如下：
$\begin{bmatrix}x' \\y' \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a&b& t_x \\ c&d& t_y \\ 0& 0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y \\1\end{bmatrix}$⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​ac0​bd0​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

上面两者是等价的，所以仿射变换是先进行线性变换然后再进行的平移。

变换矩阵的结构性质

值得一提的是，当表示的是2D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：

1. 最后一行为$0 0 1$001
2. 最后一列的头两个数$t_x,t_y$tx​,ty​必然表示平移
3. 左上角四个数$\begin{pmatrix}a&b \\ c & d\end{pmatrix}$(ac​bd​)表示线性变换

齐次坐标下的变换矩阵

Scale:

$S(S_x,S_y)= \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$S(Sx​,Sy​)=⎣⎡​sx​00​0sy​0​001​⎦⎤​

Rotation:

$R(φ)= \begin{bmatrix} cosφ & -sinφ & 0\\ sinφ & cosφ & 0\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$R(φ)=⎣⎡​cosφsinφ0​−sinφcosφ0​001​⎦⎤​

Translation:

$T(t_x,t_y)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$T(tx​,ty​)=⎣⎡​100​010​tx​ty​1​⎦⎤​

其他变换

1.Inverse Transform(逆变换)

逆变换即为原变换的相反操作，逆变换对应的变换矩阵即在数学意义上的逆矩阵，如下图中$M^{-1}$M−1即为逆变换对应的变换矩阵，且逆矩阵有个基本性质,即$MM^{-1}=I$MM−1=I,其中$I$I为单位矩阵。

2.Composite transform(复合变换)

以下图为例子，假如想要从左边变换到右边的话，可以考虑的方式有先旋转再平移，或者先平移再旋转。

两种方式结果如下：

很明显，需要先旋转再平移，上面的变换过程用矩阵表示如下：
$T_{1,0}·R_{45} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0& 1\\ 0 &1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos45 & -sin45 & 0 \\ sin45 & cos45 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\y\\1 \end{bmatrix}$T1,0​⋅R45​⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​101​⎦⎤​⎣⎡​cos45sin450​−sin45cos450​001​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

结论

1. 以变换的顺序很重要，顺序不同结果也就不同。
2. .变换矩阵应用的顺序是从右到左的。

上述结论可以推广，即当有$N$N个变换矩阵$A_1~A_n$A1​ An​应用时，也是从右到左进行应用，同时因为矩阵满足结合律，所以我们可以先将前面的所有变换矩阵相乘($A_r=A_n···A_2A_1$Ar​=An​⋅⋅⋅A2​A1​)，然后再应用，结果是不变的。如下：
$A_n···A_2A_1\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = A_r\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$An​⋅⋅⋅A2​A1​⎣⎡​xy1​⎦⎤​=Ar​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

值得一提的是由于矩阵都是$3X3$3X3,所以即使前面的相乘，得到的矩阵$A_r$Ar​仍然是$3X3$3X3,也就是说一个矩阵也可以表示极为复杂的变换。

同时考虑仿射变换的性质，上面先旋转再平移也可以写成如下形式,结果不变:
$T_{1,0}·R_{45} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos45 & -sin45 & 1 \\ sin45 & cos45 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\y\\1 \end{bmatrix}$T1,0​⋅R45​⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​cos45sin450​−sin45cos450​101​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

3.Decomposite transform(变换分解)

变换的分解有多种多样，有时候不能一次性写出旋转矩阵，就可以将其分解，逐步应用变换矩阵来达到同样的效果。

例如考虑绕任意点$c$c进行旋转，可以先将旋转中心移动到原点进行旋转之后再将旋转中心移动到$c$c点。如下图所示:

其矩阵表示如下,应用过程从右到左：
$T(c)·R(α)·T(-c)$T(c)⋅R(α)⋅T(−c)

3D变换

前提(右手系)

以下变换考虑的都是右手系(参考右手螺旋定则，四指弯曲方向为$x$x旋转到$y$y方向，大拇指方向为$z$z方向)。

齐次坐标表示

类比2D中引入齐次坐标的原因,3D中的平移也不能直接写成，所以对于3D变换，增加一个维度$w$w，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：
$point=(x,y,z,1)^T \\ vector=(x,y,z,0)^T$point=(x,y,z,1)Tvector=(x,y,z,0)T
同样的有对于齐次坐标而言，$(x,y,z,w)^T(w!=0)$(x,y,z,w)T(w!=0)表示的点即为$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1)^T$(wx​,wy​,wz​,1)T。

矩阵描述3D中的仿射变换如下：
$\begin{bmatrix}x' \\y' \\ z'\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a&b&c& t_x \\ d&e&f& t_y \\ g&h&i& t_z \\ 0& 0& 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y \\z\\1\end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​adg0​beh0​cfi0​tx​ty​tz​1​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

变换矩阵的结构性质

和2D中一样，当表示的是3D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：

1. 最后一行为$0 0 01$0001
2. 最后一列的头两个数$t_x,t_y，t_z$tx​,ty​，tz​必然表示平移
3. 左上角9个数$\begin{pmatrix}a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{pmatrix}$⎝⎛​adg​beh​cfi​⎠⎞​表示线性变换

齐次坐标下的变换矩阵

3D下和2D下的缩放和平移类似，但是旋转有些不同，

Scale:

$S(S_x,S_y)= \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 &0\\ 0 & s_y & 0 &0\\ 0&0&s_z&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$S(Sx​,Sy​)=⎣⎢⎢⎡​sx​000​0sy​00​00sz​0​0001​⎦⎥⎥⎤​

Translation:

$T(t_x,t_y)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0&t_x \\ 0 & 1 &0& t_y \\ 0&0&1&t_z\\ 0 & 0 & 0&1 \\ \end{bmatrix}$T(tx​,ty​)=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​tx​ty​tz​1​⎦⎥⎥⎤​

Rotation

先考虑只绕一轴进行旋转的情况(绕谁谁不变)，如下:
$R_x(α)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0&\\ 0&cosα & -sinα & 0\\ 0&sinα & cosα & 0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\\ R_y(α)=\begin{bmatrix} cosα & 0&sinα & 0\\ 0&1&0&0\\ -sinα &0& cosα & 0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\\ R_z(α)=\begin{bmatrix} cosα & -sinα & 0&0\\ sinα & cosα & 0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\\$Rx​(α)=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​001​⎦⎥⎥⎤​Ry​(α)=⎣⎢⎢⎡​cosα0−sinα0​0100​sinα0cosα0​0001​⎦⎥⎥⎤​Rz​(α)=⎣⎢⎢⎡​cosαsinα00​−sinαcosα00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​
这里绕着$y$y轴有所不同，这是因为我们使用的右手系，旋转方向默认逆时针的情况下，绕$y$y轴，是$z$z转向$x$x方向，而矩阵定义的旋转顺序为$xyz$xyz,即为$x$x->$y$y,$y$y->$z$z,$x$x->$z$z。

接下来简单总结一下一般情况绕任意轴下的3D旋转。

普通的3D旋转可以将其分解到绕$xyz$xyz旋转，然后推导其公式($Rodrigues' Rotation Formula$Rodrigues′RotationFormula)如下,其中$\pmb{n}$nnn为旋转轴，$α$α为旋转角，$I$I为单位矩阵，这里默认沿着$\pmb{n}$nnn旋转时，该轴是过原点的：
$R(\pmb{n},α)=cos(α)\pmb{I}+(1-cos(α))\pmb{n}\pmb{n}^T+sin(α) \begin{pmatrix}0 &-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_z\\ -n_y&n_x&0\end{pmatrix}$R(nnn,α)=cos(α)III+(1−cos(α))nnnnnnT+sin(α)⎝⎛​0nz​−ny​​−nz​0nx​​ny​−nz​0​⎠⎞​
最右边的是向量叉积的矩阵形式。推导略。