数据结构学习笔记之B树与B+树

B树与B+树

• 一、B 树
• 1、B 树的概念
• 2、B 树的定义
• 3、重要结论
• 4、B 树的高度
• 5、B 树的查找
• 6、B 树的插入
• 6.1、定位
• 6.2、插入

一、B 树

1、B 树的概念

• B 树，即多路平衡查找树。
• B 树中所有节点的孩子个数的最大值称为 B 树的阶。

2、B 树的定义

• 一棵 m 阶的 B 树或为空树，或者满足下列性质：
  1）树中每个节点至多有 m 棵子树；
  2）分支节点至少有两棵子树；
  3）根节点外的分支节点至少有 ⌈m/2⌉ 棵子树；
  4）所有非叶子节点的结构如下：
  
  其中，K_i 为节点关键字，且以递增顺序排列，P_i 是指向子树根节点的指针，且 P_i-1 所指子树的所有节点的关键字均小于 K_i，而 P_i 所指的子树中的关键字都大于 K_i。
  5）所有叶节点在同一层中，并且不带信息。
• 一棵四阶 B 树形状如下：
  

3、重要结论

• 根据 B 树的性质可以得出如下重要结论：
  1）B 树是所有节点的平衡因子等于 0 的多路平衡查找树；
  2）节点的孩子个数为结点关键字数加一；
  3）根节点无关键字相当于没有子树，也即是空树；若根节点有关键字，则子树必大于两棵；
  4）根节点外的分支节点至少有 ⌈m/2⌉-1 个关键字，即有⌈m/2⌉ 棵子树；
  5）节点中关键字自左向右递增，关键字两侧均有指向子树的指针，左边指针所指子树的所有关键字均小于该关键字，右边指针所指的子树的关键字均大于该关键字。
  6）所有叶节点在最深一层，代表查找失败的位置。

4、B 树的高度

• B树中的大部分操作所需的磁盘存取次数与B树的高度成正比。
• 对于任何一棵有 n >=1个关键字、高度为 h、阶数为 m 的B树：
  1）当每个节点最多有 m 棵子树时，n<= (m-1)(1+m+m²+ … + m^h-1)=m^h - 1，故 h>=log_m(n+1)。
  2）当每个节点关键字数达到最少，则容纳同样多的关键字的 B 树的高度达到最大，此时 h<=log_⌈m/2⌉((n+1)/2)+1。
• 一棵 3 阶 B 树共 8 个关键字，则 2<=h<=3.17.

5、B 树的查找

• 对一棵 B 树进行查找可分为两步：第一步确定节点，第二步在节点内确定关键字。
• 由于 B 树通常存储在磁盘上，故而第一步操作是在磁盘上进行，第二步操作是在内存中进行。
• 经过第一步确定节点后，在节点内的有序表进行比较，若查找成功，则按照对应的指针信息到所指子树上去查找；在子树上也是这两个步骤，直到找到对应关键字或到叶节点。若递归到了叶节点也没有找到对应的关键字，则说明关键字在 B 树中并不存在。

6、B 树的插入

• B 输入的插入过程分解为定位和插入两步。

6.1、定位

• 利用 B 树查找算法，找到插入关键字的最低层中的某个非叶节点，插入位置必须是最低层的某个非叶节点 。

6.2、插入

• 每个非失败节点的关键字个数满足(⌈m/2⌉+1, m-1)，插入一个关键字后，结点关键字数小于 m，则可以直接插入；若插入后节点关键字数目大于 m-1，则必须对节点进行分裂。
• 分裂就是：取一个新节点，在插入关键字的后的原节点，从中间位置( ⌈m/2⌉ )将其中的关键字分为两部分，左部分的关键字放在原节点，右部分的关键字放在新节点，中间位置(⌈m/2⌉)的关键字插入原节点的父节点，若父节点进行插入后也导致关键字数目超过上限，则继续进行分裂，直到根节点为止，此时 B 树高度增 1。