【Method】
A.Surrogate Measure to Estimate Motion Within One Stack
估计slices之间正确的对齐方式是所有运动校正重建方法的重要步骤。交叉切片强度剖面的优化可能不通过初始配准template来获得【4】.但是，这个方法对解剖学结构易混淆的部分比较敏感，配准过程中需要空间mask的约束。另一种方法是使用近似的和手动分割，然后将所有stacks使用3D-3D配准对其到初始的配准目标上，来作为随后的slice to volume图像重建的起始点【25】。分割过程存在自动化的可能，但是可用的方法提供的结果或者在中心slices部分分割结果非常粗糙【26】，或者需要stacks之间运动非常小来保持精确【27】。此外，它们仅能用在可用训练集中特别的区域。
初始的目标区域分割和3D-3D 配准都将从stacks中相关运动的测量中获益。这样一来最小变形的stack将被选为初始3D-3D配准的初始化。我们提出一种快速的全自动的方法来提供这些切片中的测度。
我们考虑固定的3D对象中k张独立未被影响的对齐的2D 切片I1,......Ik 属于Rwxh。将m像素点的图像区域变形为强度向量Rm,m=wh的运算符允许我们定义一个矩阵
给定这个， 有着限制范围并且当很好的对齐的时候，一个对象的slices应该是线性相关的，这个区域的数据矩阵A应当近似地是low-rank的。但是，实际上slices之间是有这轻微区别的，运动变化和遭受的噪声。因此，误差E需要包含其中。尽管A可以被看作是low-rank的，观察到的数据矩阵D=A+E将共可能是满秩的。实验中，我们发现slices的（未）对齐对E有着最大的影响。受到【28】的启发，我们可以使用low-rank的近似来作为未对齐的stack解剖学相似性切片子集范围的代理估计。【28】旨在对齐human faces picture，展示了由于摄影设备影响和不同姿势的差异。在我们的工作中，数据包含了stack中的切片。因为这些，变体将由代表轻微差异解剖组织的相邻切片产生，也由于噪声和未对齐产生。
在【28】中表明，对齐得很好的图像集的数据矩阵与对齐的很差的相比，更近似于一个不满秩的矩阵（秩更小）。实际上，数据的秩用来表示一个能够优化的估计对齐参数目标函数。尽管秩不能为运动范围 提供直接的或者本质的测度，在我们的应用中它能够提供运动的代理测度，我们可以利用这个测度依照切片数据的对齐质量 来分配stacks的顺序。
数据矩阵D的奇异值可以被写作s1,s2,...,sk（s1>s2>...>sk>0）。D(Rmxk)的奇异值分解产生三个矩阵，U，S，V。S包含对角线奇异值，U和V都是列的正交集(mxk and kxk)。D可以由USV准确复原。
这样的分解可以被用来提供初始矩阵D的低秩近似。如果我们使用U和V的前r列和S左上方rxr的子矩阵，将它们分别记为U`,V`,S`，那么可以用D'来近似D。假定D是一个满秩，那么D'将是r秩的。实际上在所有r秩的矩阵当中，D’是D最近似的一个。
D'当中的奇异值是尘世矩阵的前r个奇异值。为了评估D'与D的近似程度，我们使用弗罗贝尼乌斯范数
||D-D`||。因此，D，D`和 D-D` 矩阵范数满足,
和||D-D`||=
。近似值的相关误差可以定义为：
对于不同的r值来评估这个误差，我们能够发现对于每张stack的最小秩r满足给定误差阈值β。r和r的误差可以联合到每张stack的误差数量的代理测度ω。实际中我们使用来获得运动数量的代理测度。
扫描切片大部分都展示了很明显的相关性特别是在fetal MRI上。这个方法的重要因素是，一旦所有stacks的近似秩r获得，便依据它们的运动损失级别来获得相关排序。这样可以用来进一步的选择合适初始参考的迭代。这个方法也可以被用来在算法早期排除那些太多运动的stacks。
B。Transformation of Slice Data
考虑到一张stack作为目标template，我们首先在所有stacks和template stack之间进行3D刚性配准来获得感兴趣区域的全局变换。因为这一点，为了未知刚性变换矩阵，我们将每张图像slice和其未知运动变换参数排列成lists，I=[I1,..,Ik] T=[θ1,...,θk]。此外，定义一个list Ws=[θw1,...,θwk]包含了所有的图像到世界坐标变化矩阵。这些变换将2D或者3D离散的图像像素变换到连续的世界坐标系（扫描器坐标器）位置当中。另外一个图像到世界左边变换矩阵Wr用来重建目标volume X，所以可以定义变换为X中的体素pr=[x,y,z,1]T和第k个slice中像素位置ps=[i,j,0,1]T之间的变换，以用来寻找目标图像空间中最近邻体素中心,通过使用
为了实现图像获得步骤的正确估计并且模拟在物理空间中模拟实际数据点的表现，每个slice中的体素强度ps定义为连续的点扩散函数。这意味着我们的方法可以对目标重建volume每个体素点精确值采样（计算精确度限制）。KM方法【5】使用先验计算每个体素的点扩散函数的低分辨代表并且随后的线性插值来获得点扩散函数知道近似。这些被应用来避免过多的计算时间。
越精细越好地计算点扩散函数是为了图像研究和临床应用。我们在结果部分展示的结果和临床成功展示了准确的点扩散函数领域计算对图像对比度的提高。这在人为检查和随后的（半自动）图像分割方法上很有帮助。点扩散函数的准确形状都是独立获得的。【30】通过ssFSE序列产生的PSF使用虚拟旋转图像编码梯度以至于图像平面与**切片垂直。产生的PSF是通过平面内的sinc函数获得的，它的形状在slice间的方向是通过slice信息给出的。一个理想的矩形信息扩展了范围并且需要很稠密，低效率的空间采样。因此，我们使用高斯slice信息，完整的宽度为最大时的一般（slice厚度）来适用于更实际的采样需求。我们可以通过近似为3D高斯函数来模拟ssFSE序列点扩散函数。
dx，dy，dz是重建体素中心的补偿。另一种选择使用
直接模拟了真实的ssFSE MRI中出现的PSF并且是平面内体素中心的径向距离。实际上我们在平面内PSFMRI函数的组成上使用2D Bartlett window。
注意到我们使用的PSF在并行计算中一直是一个连续且精确的采样函数。这与之前对每个位置使用先验计算PSF矩阵的方法相反，离散的，缩短了的，需要变形并且线性插值来获得重建过程中任意位置的连续值。在SIMD结构中，计算PSF函数的计算消耗低于变换和线性插值的内存需求。此外，这个方法由于不需要提前计算PSF矩阵提高了内存效率。
基于PSF的volume更新：为了填充任意选择体素尺寸的每个X的体素，我们扩展了slice和volume的空间关系通过上面B部分的计算式。通常来说，ps和pr不会完美的对齐，并且考虑到图像获得步骤的物理特性，一个ps产生多余一个pr。为了准确的模拟这个，我们采样X中每个体素M范围，并且在S中有着至少一个对应像素的，然后使用PSF函数来正确地评估每次迭代n中这个像素的贡献
PSF空间的坐标随着slice体素维度变化。为了提供一个算法可以接受的运行时间，我们在体素中心位置附近的邻域范围对真实的PSF值进行采样来获得目标重建volume。KM方法使用小数目的体素（4到8）来定义重建volume过程中的局部邻域范围而不是直接采样PSF空间。在提出的方法中一下几点是可能的（1）使用一个任意的PSF，因此来根据使用的扫描设备来轻易地调整方法；（2）对理论上无限数目的重建体素加权，从而提供PSF的无限的支持。
C.Slice Simulation,Outlier Removal,and Bias Field Correction
在已经确立S和X之间的空间关系的情况下，我们同时也能将这个过程逆过来，通过PSF函数来获得扫描步骤的仿真并且声称一系列的仿真切片Iss。
世界坐标系下仿真切片和真实切片相同位置信息的比较，可以用来将每个切片体素划分为inliers和outliers。在一个近似于【5】的方法中，我们通过概率密度函数，训练了一个EM模型，将inlier类当做一个零均值高斯分布。Outliers通过恒定密度的均匀分布来模拟。每张切片中体素属于inliers的概率图像P可以用来作为超分辨体更新的权重。此外，单独的切片可以通过这个方法来分类，单独切片像素权重的平均可以用到EM算法【5】中的另外一个情况下。这样对每张切片产生了另外一列采样系数S.
一个乘法偏差场模型B产生Ik(ps)->X(pr)之间的关系并且上式可以改写为：
这在SVR方法中很常用【31】，【5】
D.Super-Resolution Volume Update
最后一步我们旨在最小化强度矫正切片像素和仿真切片值Iss之间误差的平方差之和E。
梯度下降方法用来优化形式的目标函数。为了在优化迭代过程中限制噪声的影响和避免陷入局部极值，我们添加了正则化项
平滑参数α保证边缘平滑。这将拓展上式成为一个X的迭代更新方案：
对于正则化项我们使用一个【5】相似的策略并且各向异性分布规划【32】，同时在每个slice-to-volume registration iteration之后减少λ的值来避免陷入局部极值。因此，考虑到d3方向的平滑，正则化项可以被写成：
E.Slice-to-volume registration
我们可以将X看作（12）式第一次迭代之后感兴趣volume的近似重建。因此，我们可以通过使用任何基于体素的相似性方法，将每张切片刚性【33】配准到当前X，来优化每个独立的θk∈T。我们对MRI使用互相关，对US images使用标准化互信息，并且利用ps和pr精确一致性的结果来重新开始超分辨体重建。