UA MATH571B 试验设计VI 随机效应与混合效应3 嵌套设计

UA MATH571B 试验设计VI 随机效应与混合效应3 嵌套设计简介

• 两阶段嵌套设计

前两讲介绍了两因素的随机效应与混合效应模型的统计方法，进行实验设计的时候思路与RCBD类似。试验有random factor时还有另外两种常用的设计：嵌套设计(nested design)和裂区设计(split-plot design)。这一讲介绍嵌套设计的基本思想，下一讲介绍裂区设计的基本思想。

先介绍基本概念，什么是factor的嵌套？在两因子的模型中，我们总是要考虑两个因子的交互效应，因此在设计试验的时候就考虑了factor level的交叉（每一个factor A的level都要与factor B的所有level构成一个treatment用来处理一个试验单位），这样做最大的问题在于试验资源的浪费，因为这样设计试验需要的试验单位总数为$abn$abn，$n$n是replicate的次数，如果$a=4,b=12,n=2$a=4,b=12,n=2（考虑factor A的个level和factor B的12个level做交叉，并重复试验两次），则需要的试验单位为96，假设对每个试验单位的treatment平均需要200元，这个试验就需要花费1.92万。为了节约试验资源，减少试验单位的使用，可以考虑嵌套设计，比如把factor B的12个level分为4组，每一组3个level与factor A的1个level做交叉（如下图），则需要的试验单位就是24，这个试验就只需要0.48万。

如果能针对嵌套设计的试验数据建立适用的统计模型，那么我们在做试验上就能省很多钱了。下面就介绍一下嵌套设计的统计模型：

两阶段嵌套设计

假设我们关注A和B两个factor的effects，factor B的level嵌套在factor A的level中，模型设定为：
$y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_{j(i)} + \epsilon_{(ij)k}\\ \epsilon_{ijk} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i=1,\cdots,a;j=1,\cdots,b;k=1,\cdots,n \\$yijk​=μ+τi​+βj(i)​+ϵ(ij)k​ϵijk​∼iid​N(0,σ2);i=1,⋯,a;j=1,⋯,b;k=1,⋯,n

A和B可以是random factor也可以是fixed factor，依据类型的不同写出模型假设即可。考虑平方和的分解（不想打公式了直接截图）：





上面这些结论的推导和前两讲都没有什么很大的区别。但在做推断的时候需要注意：factor level的交叉可以推断的效应有factor A的效应，factor B的效应，factor A和B的交互效应（交互效应本质上就是相同的factor A下factor B的效应以及相同的factor B下factor A的效应），这是由试验设计和统计模型共同决定的；factor level的嵌套因为只有B的level嵌套到A中的设计，而没有A的嵌套到B中的，因此只能推断factor A的效应以及相同的A的level下factor B的效应，相当于能推断的效应只有factor level的交叉的一半。