湍流模型（1）——湍流的统计描述

湍流是一种随机的、非定常的、混沌的不规则流动状态，内部是无数形状和尺度不同的漩涡。湍流的高度复杂性使得描述流体粒子的运动变得异常困难，因此研究者们转而使用统计学的方法。如下图所示，将湍流的瞬时量u(t)分解为定常量U和瞬时扰动量的和，即$u(t)=U+u\prime(t),$u(t)=U+u′(t),
这种描述方式就是雷诺分解（Reynolds decomposition）。上式中的$u$u不仅指速度分量，可以代表湍流的其他特征量，如压力$p$p等。

在雷诺分解的基础上，根据统计学理论就可以得出一堆湍流统计量：
时间平均/均值(time average/mean)
流动特征量$\phi$ϕ的时间平均定义为
$\Phi=\frac{1}{\Delta t}\int^{\Delta t}_{0} \phi(t)dt$Φ=Δt1​∫0Δt​ϕ(t)dt
上式中的$\Delta t$Δt理论上应该是趋于无穷的，因为毕竟是统计量，小样本就没有统计价值了。其实主要满足$\Delta t$Δt大于$\phi$ϕ的周期的时间尺度，上式定义的均值就是有意义的。
扰动量$\phi \prime$ϕ′的时间平均恒等于0，定义如下，
$\bar{\phi}\prime = \frac{1}{\Delta t} \int ^{\Delta t} _{0} \phi \prime (t)dt \equiv 0$ϕˉ​′=Δt1​∫0Δt​ϕ′(t)dt≡0
所以，$\phi = \Phi + \phi \prime$ϕ=Φ+ϕ′

以下统计量主要对于扰动分量而言：
方差(Variance)
$\overline{(\phi \prime)^2} = \frac{1}{\Delta t} (\phi \prime)^2 dt$(ϕ′)2​=Δt1​(ϕ′)2dt
均方根(r.m.s)
$\phi _{rms} = \sqrt{\overline{(\phi \prime)^2}}=[\frac{1}{\Delta} \int^{\Delta t}_{0} (\phi \prime)^2 dt]^{1/2}$ϕrms​=(ϕ′)2​​=[Δ1​∫0Δt​(ϕ′)2dt]1/2
统计矩（moment）
对于变量$\phi = \Phi + \phi \prime$ϕ=Φ+ϕ′和$\psi = \Psi + \psi \prime$ψ=Ψ+ψ′，其扰动量的二阶矩定义为
$\overline{\phi \prime \psi \prime} = \frac{1}{\Delta t} \int^{\Delta t}_{0} \phi \prime \psi \prime dt$ϕ′ψ′​=Δt1​∫0Δt​ϕ′ψ′dt

高阶矩（higher-order moment）
$\overline{(\phi \prime)^3} = \frac{1}{\Delta t} \int^{\Delta t}_{0} (\phi \prime)^3 dt$(ϕ′)3​=Δt1​∫0Δt​(ϕ′)3dt
$\overline{(\phi \prime)^4} = \frac{1}{\Delta t} \int^{\Delta t}_{0} (\phi \prime)^4 dt$(ϕ′)4​=Δt1​∫0Δt​(ϕ′)4dt