A Brief Introduction to Statistical Shape Analysis
Contents
1 Introduction 2
2 Shapes and Landmarks 2
3 Shape Alignment 3
3.1 The Procrustes Shape Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Generalized Procrustes Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Tangent Space Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Modeling Shape Variation 7
4.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Experiments 8
5.1 Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Alignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Statistical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4 On the Practical Impact of Tangent Space Projection . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Concluding Remark 14
7 Acknowledgements 14
References 15
有些中英文对应可能翻译的不好，因此附带了原始英文。
1、介绍
此笔记是关于Active Shape Models（ASM）基础的，也就是形状统计分析（statistical analysis of shapes）
2、形状和标志Shapes and Landmarks
定义1：形状是当从对象中除位置，比例和旋转效果时剩余的所有几何信息。
定义2：Landmarks标志是群体之间和群体内匹配的每个对象的对应点。其同义词包括同源点，节点，顶点，锚点，基准标记，模型点，标记，关键点等。n个k维度的点一般在平面上表示为kn-vector.
3、形状对齐Shape Alignment
为了获得真实的形状表示 - 根据我们的定义 - 需要过滤掉位置，比例和旋转效果。这是通过建立坐标参考来实现的所有形状都对齐（位置，比例和旋转，通常称为姿势pose）。一些文献也采用Kendall [7]引入的预成形Pre-shape概念。预成型是临近真实形状的最后一步 - 旋转效果仍需要过滤掉。
下面描述用于获得这种坐标参考的对齐过程。这通常称为Procrustes分析（Procrustes analysis）。这将形状置于形状空间。
定义3：形状空间（Shape Space）是所讨论对象的所有可能形状的集合。
形式上，形状空间是 欧几里得相似变换 作用下
中非重合n点集配置的轨迹形状。
但这个形状空间所涵盖的维度是多少？如果我们在k欧几里德维度中有随机n点向量，则维数为kn。但是对齐过程剥离了维度，即数据现在只跨越kn的子空间。平移移除k维，均匀缩放一维和旋转维。因此，形状空间维度是：
如果可以建立 形状空间中的距离 与 原始平面中的欧几里德距离 之间的关系，则该组形状实际上形成包含所讨论的对象类（例如，手）的黎曼流形（Riemannian manifold）。这也表示为肯德尔形状空间（Kendall shape space）[1]。这种关系称为形状度量（shape metric）。
常用的形状度量包括Hausdorff距离[14]，应变能（或称变形能，strain energy）[18]和Procrustes距离[8,7,1,5]。如果两个前者比较具有不等数量点的形状，则后者需要相应的点集。但是，在下文中我们将使用着名的Procrustes距离。
3.1 The Procrustes Shape Distance
Procrustes距离是最小二乘形状度量，需要两个对齐的形状，一对一点对应。对齐部分包括四个步骤：
1.计算每个形状的质心。
2.重新缩放每个形状以具有相同的大小。
3.对齐关于将两个形状定位在它们的质心处。
4.对齐关于通过旋转方向。
第1步：计算每个形状的质心。
现在，两个形状x1和x2之间的平方Procrustes距离就是平方点距离的总和：
由于形状的质心是由每个地标处的单位质量组成的物理系统的质心，因此很容易计算为：
第2步：重新缩放每个形状以具有相同的大小。
需要建立一个形状大小指标。
定义4：形状大小度量（shape size metric）S（x）是形状向量的任何正实值函数，它满足以下属性（与所有其他度量一样）：
在下文中，Frobenius范数（或2范数）用作形状大小度量：
另一个常用的比例尺度是质心大小：
该度量还具有等于inter-landmark距离之和[7]的有趣特性。
第3步：对齐关于将两个形状定位在它们的质心处。
应用奇异值分解（SVD）
1.将x1和x2的大小和位置排列为 nxk 矩阵（在平面情况下k = 2）。
2.计算的SVD，
，以便最大化两组标志（landmarks）之间的相关性。
3.在x2上最佳地叠加x1所需的旋转矩阵则是：
3.2广义Procrustes分析
虽然对于一组平面形状的对齐存在解析解[12,7]，但是对于广义Procrustes分析[1,5]的以下迭代方法就足够了。
1.选择平均形状的初始估计（例如，集合中的第一个形状）。
2.将所有剩余形状对齐到平均形状。
3.重新计算对齐形状的平均值估计值。
4.如果估计的平均值已经改变，则返回步骤2。
因此，当平均形状在迭代内没有显着变化时，会发生收敛。Bookstein [1]指出，在大多数情况下，上述两次迭代应该足够了。
剩下的问题是如何获得平均形状（或形状原型）的估计。最常用的是Procrustes平均形状（Procrustes mean shape）或只是Procrustes平均值（Procrustes mean）（也称为Frech'et平均值）。设N表示形状的数量，然后Procrustes的意思是：
此外，为了避免平均形状的任何收缩或漂移，应通过标准化在每次迭代时适当地固定尺寸和方向。
现在，让我们回到之前介绍的流形（manifold）的概念。由于尺寸归一化，所有形状矢量都存在于kn维超球的子部分上。该超球面表示n个欧几里德维度中的所有k个界标形状，但所讨论的子部分仅表示所讨论的对象类的形状，例如，手勾勒出来。该子部分构成所谓的manifold流形。
插播，如果还是搞不懂流形是什么：http://blog.pluskid.org/?p=533
有时候经常会在 paper 里看到“嵌入在高维空间中的低维流形”，不过高维的数据对于我们这些可怜的低维生物来说总是很难以想像，所以最直观的例子通常都会是嵌入在三维空间中的二维或者一维流行。比如说一块布，可以把它看成一个二维平面，这是一个二维的欧氏空间，现在我们（在三维）中把它扭一扭，它就变成了一个流形（当然，不扭的时候，它也是一个流形，欧氏空间是流形的一种特殊情况）。
所以，直观上来讲，一个流形好比是一个 d 维的空间，在一个 m 维的空间中 (m > d) 被扭曲之后的结果。需要注意的是，流形并不是一个“形状”，而是一个“空间”，如果你觉得“扭曲的空间”难以想象，那么请再回忆之前一块布的例子。如果我没弄错的话，广义相对论似乎就是把我们的时空当作一个四维流（空间三维加上时间一维）形来研究的，引力就是这个流形扭曲的结果。当然，这些都是直观上的概念，其实流形并不需要依靠嵌入在一个“外围空间”而存在，稍微正式一点来说，一个 d 维的流形就是一个在任意点出局部同胚（在拓扑学中，两个流形，如果可以通过弯曲、延展、剪切(只要最终完全沿着当初剪开的缝隙再重新粘贴起来)等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是同胚的。如：圆和正方形是同胚的，而球面和环面就不是同胚的。）于（简单地说，就是正逆映射都是光滑的一一映射）欧氏空间
。
3.3切线空间投影Tangent Space Projection
事实上线性方法很好。表现良好，在适用的情况下具有良好的性能并且非常好理解。然而，这些与Procrustes分析产生的高维曲面形成鲜明对比。这是切线空间投影的（部分）目标。修改形状矢量以形成超平面，而不是超球的子部分。此外，该平面中的欧几里德距离可以用作形状度量而不是真正的测地距离，即在超球面上。
在图2（左）中，形状矢量x，平均形状，x和切线空间（在由平均形状限定的极处）以平面投影示出。图2中剩下的两幅草图。
图2显示了两个切线空间投影，我们将重点关注前者。
该切线空间投影通过缩放线性化。从图2（中）我们看到xt对的投影是
，即：
在缩放因子中用替换xt，我们得到：
最后
这种类型的切线空间投影在图3中的四维和四百个形状矢量的2D投影上执行。
为了说明这种技术的影响，请考虑图4（左）中包含一组矩形的玩具示例。除了非形状信息（即缩放，旋转和平移）之外，这些仅通过改变一个参数即宽高比而产生。由于切线空间投影，图4（中间）中的Procrustes分析引起的所有非线性被删除到图4（右）。正如我们稍后将要看到的，当使用线性方法模拟形状变化时，这显然会影响结果。
图4：左：一组100个未对齐的人工生成的矩形，每个矩形包含16个点。中间：来自Procrustes对齐矩形的平均形状和点云。右：从Procrustes对齐的矩形投射到切线空间的平均形状和点云。