第九章射频放大器

电路图
第九章射频放大器
信号流图

反射系数
${\Gamma _n} = \frac{{Z{{\kern 1pt} _n} - Z{{\kern 1pt} _{\rm{0}}}}}{{Z{{\kern 1pt} _n} + Z{{\kern 1pt} _{\rm{0}}}}}$
阻抗
${Z_n} = Z{{\kern 1pt} _{\rm{0}}}\frac{{1 + {\Gamma _n}}}{{1 - {\Gamma _n}}}$
入/反射电压、电流与波
${V_n}^ + = \sqrt {{Z_0}} {a_n}$
${V_n}^ - = \sqrt {{Z_0}} {b_n}$
端口电压与入/反射电压
${V_n} = V_n^ + + V_n^ - = {a_n}\sqrt {{Z_0}} \left( {1 + {\Gamma _n}} \right)$
电源电压与入/反射电压
${V_{in}} = V_{in}^ + + V_{in}^ - = {V_S}\frac{{{Z_{in}}}}{{{Z_S} + {Z_{in}}}} = \frac{{{V_S}\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right)}}\left( {1 + {\Gamma _{in}}} \right)$
$V_{in}^ + = \frac{{{V_S}}}{2}\frac{{1 - {\Gamma _S}}}{{1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}}}$
$V_{in}^ - = {\Gamma _{in}}V_{in}^ +$
电源参量关系
${b_S} = \frac{{{V_S}}}{{2\sqrt {{Z_0}} }}\left( {1 - {\Gamma _S}} \right) = \frac{{{V_S}\sqrt {{Z_0}} }}{{{Z_S} + {Z_0}}}$
负载参量关系
${V_L} = {b_{out}}\sqrt {{Z_0}} \left( {1 + {\Gamma _L}} \right)$

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放大器输入反射系数
${\Gamma _{in}} = \frac{{{{b'}_S}}}{{{b_S}}}$
${\Delta _0} = 1 - {S_{22}}{\Gamma _L}$
${P_1} = {S_{11}}$
${\Delta _1} = 1 - {S_{22}}{\Gamma _L}$
${P_2} = {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}$
${\Delta _2} = 1$
${\Gamma _{in}} = \frac{{{P_1}{\Delta _1} + {P_2}{\Delta _2}}}{{{\Delta _0}}}{\rm{ = }}\frac{{{S_{11}}\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}\\ = {S_{11}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}$
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放大器输出反射系数
$\Gamma_{\text {out}}=\frac{b_{S}^{\prime}}{b_{S}}$
$\Delta_{0}=1-S_{11} \Gamma_{S}$
$P_{1}=S_{22}$
$\Delta_{1}=1-S_{11} \Gamma_{S}$
$P_{2}=S_{21} S_{12} \Gamma_{S}$
$\Delta_{2}=1$
${\Gamma _{out}} = \frac{{{P_1}{\Delta _1} + {P_2}{\Delta _2}}}{{{\Delta _0}}}{\rm{ = }}\frac{{{S_{22}}\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right) + {S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}\\ = {S_{22}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}$
$\Delta=S_{11} S_{22}-S_{12} S_{21}$
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信号流图中的传递函数
${\Delta _{{\rm{ 0}}}} = 1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L} + {S_{11}}{S_{22}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}\\ {P_1} = {S_{21}}$
${\Delta _1} = 1$
$G = \frac{{{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L} + {S_{11}}{S_{22}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}\\ = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}$
变换成源到负载的电压增益
$\frac{{{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}\\ \frac{{\frac{{{V_L}}}{{\sqrt {{Z_0}} \left( {1 + {\Gamma _L}} \right)}}}}{{\frac{{{V_S}}}{{2\sqrt {{Z_0}} }}\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}} = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}}}$
放大器的电压增益
${G_{VS}} = \frac{{{V_L}}}{{{V_S}}} = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left[ {\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) - {S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _S}{\Gamma _L}} \right]}}\\ = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left[ {1 - {\Gamma _S}\left( {{S_{11}} + \frac{{{S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}} \right)} \right]}}\\ = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left[ {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right]}} = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left[ {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right]}}$

9.1 放大器的稳定性

放大器输入反射系数
${\Gamma _{in}} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}$
放大器输出反射系数
${\Gamma _{out}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}$
S参数是放大器的内部参数
${\Gamma _S}$ 、 ${\Gamma _L}$ 是信号源及负载参数，作为放大器的外部参数
放大器稳定性研究就是研究放大器增益极点与这些参数的关系。

单向传输放大器 ${S_{12}} = 0$

放大器输入反射系数 ${\Gamma _{in}} = {S_{11}}$
放大器输出反射系数 ${\Gamma _{out}} = {S_{22}}$
放大器的电压增益
${G_{VS}} = \frac{{{S_{21}}\left( {1 + {\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}} \right)}}{{2\left( {1 - {\Gamma _{in}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {\Gamma _{out}}{\Gamma _L}} \right)}}$
如果 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| \ge 1$ 或 $\left| {{\Gamma _{out}}} \right| \ge 1$
就可能存在某个 ${\Gamma _S}$ 或 ${\Gamma _L}$
使得 $1 - {\Gamma _{in}}{\Gamma _S} = 0$ 或 $1 - {\Gamma _{out}}{\Gamma _L} = 0$
从而使放大器出现极点，成为不稳定因素。

一般放大器模型 ${S_{12}} ≠ 0$

放大器输入反射系数
${\Gamma _{in}} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}$
放大器输出反射系数
${\Gamma _{out}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}$
放大器的电压增益
显然 $\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)=0$ 或 $\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)=0$ 不是增益极点
也只需对 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| \ge 1$ 或 $\left| {{\Gamma _{out}}} \right| \ge 1$ 的情况进行分析

又因为 ${\Gamma _L}$ 、 ${\Gamma _S}$ 的无源特性有 $\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1$ 、 $\left| {{\Gamma _S}} \right| \le 1$
所以只需 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1$ 、 $\left| {{\Gamma _{out}}} \right| < 1$
便可使放大器工作于稳定状态
由于放大器的输入输入阻抗受信号源阻抗和负载阻抗的影响，因此稳定性分为两类
1、绝对稳定：
在任何外部条件下满足稳定条件
2、条件稳定：
在限定外部条件下（外部接入阻抗范围）满足稳定条件

9.1.1.1 稳定性判定圆教材316页 PDF332页

输入反射系数 ${\Gamma _{in}}$

用图像表示输入反射系数 ${\Gamma _{in}}$ 与负载的关系，以及输出阻抗与源阻抗的关系
从而确定放大器稳定条件。
放大器输入反射系数
${\Gamma _{in}} = {S_{11}} + \frac{{{S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}{\rm{ = }} \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}} \Leftrightarrow {\Gamma _L} = \frac{{{S_{11}} - {\Gamma _{in}}}}{{\Delta - {S_{22}}{\Gamma _{in}}}}$
上述方程的可逆性意味着当放大器的S参数确定时
放大器输入反射系数 ${\Gamma _{in}}$ 与负载反射系数 ${\Gamma _L}$ 是一一对应的，即
${\Gamma _{in}}$ 平面上的一个点对应了 ${\Gamma _L}$ 平面上的唯一一个点，反之亦然。
${\Gamma _{in}}$ 平面上的圆 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = 1$ 对应
${\Gamma _L}$ 平面上的圆 $\left| {\frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}} \right| = 1$
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${\Gamma _{in}} = {S_{11}} + \frac{{{S_{12}}{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}{\rm{ = }} \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}$
当 $\left| {{S_{11}}} \right| < 1$ 时， ${\Gamma _L} = 0$ 对应的点
在 ${\Gamma _L}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1$ 的A圆外
在 ${\Gamma _{in}}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} < 1$ 的C圆内
也就是说，C圆内的点→A圆外的点

放大器稳定对输入端阻抗应满足 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1$ 、 $\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1$
所以在 ${\Gamma _L}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{L}}} \right| =1$ 的B圆内
即同时满足在 ${\Gamma _L}$ 平面上的 ${\Gamma _L}$ 点既在B圆内，又在A圆外，也就是左图的阴影区内
第九章射频放大器
当 $\left| {{S_{11}}} \right| > 1$ 时， ${\Gamma _L} = 0$ 对应的点
在 ${\Gamma _L}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1$ 的A圆外
在 ${\Gamma _{in}}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} > 1$ 的C圆外
也就是说，C圆内的点→A圆内的点

第九章射频放大器
当 $\left| {{S_{11}}} \right| > 1$ 时， ${\Gamma _L} = 0$ 对应的点
在 ${\Gamma _L}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1$ 的A圆内
在 ${\Gamma _{in}}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} > 1$ 的C圆外
也就是说，C圆内的点→A圆外的点

当 $\left| {{S_{11}}} \right| < 1$ 时， ${\Gamma _L} = 0$ 对应的点
在 ${\Gamma _L}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| =1$ 的A圆内
在 ${\Gamma _{in}}$ 平面上，在 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| = {\left| {{S_{11}}} \right|_{{\Gamma _L} = 0}} < 1$ 的C圆内
也就是说，C圆内的点→A圆内的点

输出反射系数 ${\Gamma _{out}}$

放大器输出反射系数
${\Gamma _{out}} = {S_{22}} + \frac{{{S_{21}}{S_{12}}{\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}$
输出稳定条件
$\left| {{\Gamma _{out}}} \right| < 1$ 且 $\left| {{\Gamma _S}} \right| \le 1$
第九章射频放大器

9.1.1.2 绝对稳定

无论放大器输入输出接任何无源负载，都能保证放大器稳定。
即只要 $\left| {{\Gamma _S}} \right| \le 1$ 、 $\left| {{\Gamma _L}} \right| \le 1$ 就一定满足 $\left| {{\Gamma _{out}}} \right| < 1$ 、 $\left| {{\Gamma _{in}}} \right| < 1$

输入端

当|S11|<1时，满足输入端稳定的图形为
第九章射频放大器
就是说需满足 $\left| {\left| {{C_{in}}} \right| - {r_{in}}} \right| > 1$
当|S11|>1时，无绝对稳定

输出端

绝对稳定条件
$\left| {{S_{11}}} \right| < 1$ 、 $\left|\left| {{C_{in}}} \right| - {r_{in}} \right| > 1$
$\left| {{S_{22}}} \right| < 1$ 、 $\left|\left| {{C_{out}}} \right| - {r_{out}}\right| > 1$
放大器稳定因子k（Pollett 稳定因子）
必要条件
$k = \frac{{1 - {{\left| {{S_{11}}} \right|}^2} - {{\left| {{S_{22}}} \right|}^2} + {{\left| \Delta \right|}^2}}}{{2\left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right|}} > 1$
$\left| {{S_{11}}} \right| < 1$
$\left| {{S_{22}}} \right| < 1$
充分条件
$1 - {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - \left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right| > 0\\ 1 - {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - \left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right| > 0$
$\left| {{S_{11}}} \right| < 1$
$\left| {{S_{22}}} \right| < 1$
绝对稳定工程条件
$k > 1$
$\left| \Delta \right| < 1$
$\left| {{S_{11}}} \right| < 1$
$\left| {{S_{22}}} \right| < 1$

例题

放大器的S参数如下表所示
$\begin{array}{l} 频率{{\rm{MHz}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{11}}}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{12}}}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{21}}}}}&{{{\rm{S}}_{{\rm{22}}}}}\\ {500}&{0.70\angle {\rm{ - }}{{57}^ \circ }}&{0.04\angle {{47}^ \circ }}&{10.7\angle {{136}^ \circ }}&{0.79\angle {\rm{ - }}{{33}^ \circ }}\\ {750}&{0.56\angle {\rm{ - }}{{78}^ \circ }}&{0.05\angle {{33}^ \circ }}&{8.6\angle {{122}^ \circ }}&{0.66\angle {\rm{ - }}{{42}^ \circ }}\\ {1000}&{0.46\angle {\rm{ - }}{{97}^ \circ }}&{0.06\angle {{22}^ \circ }}&{7.1\angle {{112}^ \circ }}&{0.57\angle {\rm{ - }}{{48}^ \circ }}\\ {1250}&{0.38\angle {\rm{ - }}{{115}^ \circ }}&{0.06\angle {{14}^ \circ }}&{6.0\angle {{104}^ \circ }}&{0.50\angle {\rm{ - }}{{52}^ \circ }} \end{array}$
从题中可知各频率都满足 $\left| {{{\rm{S}}_{{\rm{11}}}}} \right|{\rm{ < 1}}$ 、 $\left| {{{\rm{S}}_{{\rm{22}}}}} \right|{\rm{ < 1}}$

$k = \frac{{1 - {{\left| {{S_{11}}} \right|}^2} - {{\left| {{S_{22}}} \right|}^2} + {{\left| \Delta \right|}^2}}}{{2\left| {{S_{12}}{S_{21}}} \right|}}$
$\left| \Delta \right| = \left| {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right|\\ {C_{in}} = \frac{{{{\left( {S_{22}^{} - \Delta S_{11}^*} \right)}^*}}}{{{{\left| {S_{22}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}$
$r_{in} = \left| {\frac{{{S_{12}}{S_{21}}}}{{{{\left| {S_{22}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}} \right|$
${C_{out}} = \frac{{{{\left( {S_{11}^{} - \Delta S_{22}^*} \right)}^*}}}{{{{\left| {S_{11}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}$
${r_{out}} = \left| {\frac{{{S_{12}}{S_{21}}}}{{{{\left| {S_{11}^{}} \right|}^2} - {{\left| \Delta \right|}^2}}}} \right|$

$\begin{array}{l} 频率{{\rm{MHz}}}\\ {500}\\ {750}\\ {1000}\\ {1250} \end{array}{\rm{ }}\begin{array}{l} k&{\left| \Delta \right|}&{{C_{in}}}&{{r_{in}}}&{{C_{out}}}&{{r_{out}}}\\ {0.41}&{0.69}&{39.04\angle {{108}^ \circ }}&{38.62}&{3.56\angle {{70}^ \circ }}&{3.03}\\ {0.60}&{0.56}&{62.21\angle {{119}^ \circ }}&{61.60}&{4.12\angle {{70}^ \circ }}&{3.44}\\ {0.81}&{0.45}&{206.23\angle {{131}^ \circ }}&{205.42}&{4.36\angle {{69}^ \circ }}&{3.54}\\ {1.02}&{0.37}&{42.42\angle {{143}^ \circ }}&{41.40}&{4.24\angle {{68}^ \circ }}&{3.22} \end{array}$
从上表中可以看出只有在1250MHz满足绝对稳定工程条件
$k > 1$
$\left| \Delta \right| < 1$

红线为输入圆
蓝线为输出圆
绝对稳定工程条件
$\left| {{S_{11}}} \right| < 1$ 、 $\left| {{S_{22}}} \right| < 1$
第九章射频放大器

判断稳定区域

若放大器的输入信号源阻抗与输出负载阻抗相同
其S参数满足|S11|<1； |S22|<1，稳定圆图形如下，判断其稳定区域
第九章射频放大器

9.1.1.3 放大器稳定措施

1、在输入输出回路中串联或并联电阻，改变等效S11或S22
2、采用局部负反馈改变S参数
各种方法各有特点，稳定性设计是一个综合问题
需根据实际情况进行权衡，选择。

9.1.2 射频放大器的功率增益

高频电路中一般将各种模块单元都作为四端网络，为了电路的通用化设计，一般规定网络的输入输出阻抗都遵循一标称值。典型的有50Ω和75Ω标准。
放大器增益有电压/电流增益等，这些增益大都包含相位参量
如果不考虑相位参量，一般用功率增益表示
放大器增益一般用实工功率比表示。
如果放大器输入输出阻抗为相等的实参量
在不考虑相位的条件下，电压增益与功率增益的值相等。

功率定义
以下公式中，假设信号为单频信号，电压，电流用峰值表示
功率用平均功率表示

1、资用功率（available power）

指信号源或者放大器输出端能够输出的最大功率
它是信号源输出能力的表征，与负载无关
但是，如果负载上要获得这种最大的功率，负载必须与信号源内阻形成共轭匹配 ${Z_L} = Z_S^*$
其资用功率可表示为：
${P_A} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} {\left\{ {{V_{in}}I_{in}^*} \right\}_{{Z_{in}} = Z_S^*}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{{V_S}{Z_{in}}}}{{{Z_S} + {Z_{in}}}}\frac{{V_S^*}}{{{{\left( {Z_S^{} + {Z_{in}}} \right)}^*}}}} \right\} = \frac{{{{\left| {V_S^{}} \right|}^2}}}{{8{R_S}}}$
用特征阻抗Z0及反射系数表示为
${P_A} = \frac{{{{\left| {V_S^{}} \right|}^2}}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - \Gamma _S^{}} \right|}^2}}}{{1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}}}$

2、输入功率

是指放大器或网络输入端实际接收到的功率。
${P_{in}} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{{{\left| {V_{in}^{}} \right|}^2}}}{{2Z_{in}^*}}} \right\} = \frac{{{{\left| {V_{in}^{}} \right|}^2}}}{{2{{\left| {{Z_{in}}} \right|}^2}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Z_{in}}} \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} V_{in}为输入端电压\\ {Z_{in}}为输入端阻抗 \end{array} \right.$

3、输出功率

是指信号源实际输出到负载上的功率 = 负载上消耗的功率
${P_{out}} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\frac{{{{\left| {V_{out}^{}} \right|}^2}}}{{2Z_L^*}}} \right\} = \frac{{{{\left| {V_{out}^{}} \right|}^2}}}{{2{{\left| {{Z_L}} \right|}^2}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Z_L}} \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} V_{out}为输出端电压\\ {Z_L}为负载阻抗 \end{array} \right.$

1、功率转换增益 $G_T$

负载吸收功率 / 信号源资用功率
物理意义：信号源到负载的增益，当输入匹配时获得最大值
注意：功率转换增益不是放大器自身决定的，他与信号源内阻及所连接的负载有关
${G_T} = \frac{{{P_L}}}{{{P_A}}} = \frac{{\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}} \right){{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right|}^2}}} = \frac{{\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}} \right){{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right|}^2}}}$
${P_L} = \frac{{{{\left| {{V_S}} \right|}^2}}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - {\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right|}^2}}} = \frac{{{{\left| {{V_S}} \right|}^2}}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - {\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right|}^2}{{\left| {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right|}^2}}}$
${P_A} = \frac{{V_S^2}}{{8{Z_0}}}\frac{{{{\left| {1 - \Gamma _S^{}} \right|}^2}}}{{1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}}}$

2、资用功率增益

负载可能获得的最大功率 / 信号源的资用功率
注意：
1、负载上可能获得的最大功率实际上在表述前级放大器的输出能力。也就是前级放大器输出端提供给后级的资用功率。
2、无论是资用功率增益，还是功率转换增益，都与信号源有关，连接不同的信号源获得的增益是不同的。
3、资用功率增益与负载无关。
${G_A} = {\left. {{G_T}} \right|_{{\Gamma _L} = \Gamma _{out}^*}} = \frac{{{P_{L\max }}}}{{{P_A}}} = \frac{{\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _S}} \right|}^2}} \right){{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}}}{{{{\left| {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _{out}}} \right|}^2}} \right)}}$

3、工作功率增益

负载获得的功率 / 放大器输入端获得的功率 = 放大器输出功率 / 输入功率
注意：工作功率增益与信号源无关，而与所接的负载有关。
当信号源与输入阻抗匹配时，放大器输入端获得信号源的资用功率，而工作增益不变。因此通常假定在输入匹配的条件下研究工作增益。
${G_P} = \frac{{{P_L}}}{{{P_{in}}}} = \frac{{{P_L}}}{{{P_A}}}\frac{{{P_A}}}{{{P_{in}}}} = {G_T}\frac{{{P_A}}}{{{P_{in}}}} = \frac{{{{\left| {{S_{21}}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _L}} \right|}^2}} \right)}}{{{{\left| {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right|}^2}\left( {1 - {{\left| {{\Gamma _{in}}} \right|}^2}} \right)}}$

三种功率增益定义的关系：

${G_T} = \frac{{{P_L}}}{{{P_A}}}$ 、 ${G_A} = \frac{{{P_{L\max }}}}{{{P_A}}}$ 、 ${G_P} = \frac{{{P_L}}}{{{P_{in}}}}$
当输入匹配时
${P_{in}} = {P_A}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{G_T} = {G_P}$
当输出匹配时
${P_L} = {P_{L\max }}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{G_T} = {G_A}$
当输入输出都匹配时
${G_T} = {G_A} = {G_P}$
注意：三种功率增益都与ZS和ZL有关。

射频放大器的设计

通常的工程环境是给定信号源特征，PA及ZS，给定负载阻抗ZL，设计放大器，使负载上的信号功率达到技术指标要求。即GT的设计。
第九章射频放大器

最大增益设计（输入输出端共轭匹配）

${\Gamma _{\rm{S}}}^ * = {\Gamma _{{\mathop{\rm in}\nolimits} }} = \frac{{{S_{11}} - \Delta {\Gamma _L}}}{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}$
${\Gamma _{\rm{L}}}^ * = {\Gamma _{out}} = \frac{{{S_{22}} - \Delta {\Gamma _S}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S}}}$

$A = S_{22}^*\Delta - {S_{11}}\\ B = 1 + {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - {\left| \Delta \right|^2}{\rm{ }}\\ C = S_{11}^* - \Delta _{}^*{S_{22}} = - {\left( {S_{22}^*\Delta - {S_{11}}} \right)^*} = - A_1^*\\ B_{}^2 - 4AC = B_{}^2 + 4{\left| {{A_{}}} \right|^2} \ge 0$

${B_1} = 1 + {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - {\left| \Delta \right|^2} = B\\ {C_1} = {S_{11}} - \Delta S_{22}^* = - A$

${\Gamma _S}=\frac{{ - {B_{}} \pm \sqrt {B_{}^2 + 4{{\left| {{A_{}}} \right|}^2}} }}{{2{A_{}}}} = \frac{{{B_1} \pm \sqrt {B_1^2 + 4{{\left| {{C_1}} \right|}^2}} }}{{2{C_1}}}$

${\Gamma _L}{\rm{ = }}\frac{{{B_2} \pm \sqrt {B_2^2 + 4{{\left| {{C_2}} \right|}^2}} }}{{2{C_2}}}$
${B_2} = 1 + {\left| {{S_{22}}} \right|^2} - {\left| {{S_{11}}} \right|^2} - {\left| \Delta \right|^2}{\rm{ }}$
${C_2} = {S_{22}} - \Delta S_{11}^*$

$\frac{{{a_1}}}{{{b_s}}} = \frac{{1 - {S_{22}}{\Gamma _L}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} + {\Gamma _S}{\Gamma _L}\left( {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right)}} = \frac{1}{{1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}}}$

$\frac{{{b_1}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{11}}\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right) + {S_{12}}{\Gamma _L}{S_{21}}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} + {\Gamma _S}{\Gamma _L}\left( {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right)}} = \frac{{{\Gamma _{in}}}}{{1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}}}$

$\frac{{{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}}}{{1 - {S_{11}}{\Gamma _S} - {S_{22}}{\Gamma _L} + {\Gamma _S}{\Gamma _L}\left( {{S_{11}}{S_{22}} - {S_{12}}{S_{21}}} \right)}}\\ = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right)}} = \frac{{{S_{21}}}}{{\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right)}}$

$\frac{{{b_2}}}{{{b_S}}} = \frac{{{\Gamma _L}{b_{out}}}}{{{b_S}}} = \frac{{{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{\left( {1 - {S_{11}}{\Gamma _S}} \right)\left( {1 - {\Gamma _L}{\Gamma _{out}}} \right)}} = \frac{{{S_{21}}{\Gamma _L}}}{{\left( {1 - {S_{22}}{\Gamma _L}} \right)\left( {1 - {\Gamma _S}{\Gamma _{in}}} \right)}}$

作业

《射频电路设计——理论与应用》
第九章 9.4，9.29, 9.30

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