效用最大化问题中的三个函数——需求函数、间接效用函数、支出函数

需求函数：

CES需求函数
CES需求函数的函数形式为：
$U(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}$
构造朗格朗日表达式：
$f = \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}+\lambda(I-p_xx-p_yy)$
求偏导数得到一阶条件：
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda}=I-p_xx-p_yy=0 \end{array} \right.$
根据上式求得需求函数：
$\left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y})^{\frac{\delta}{1-\delta}})}\\ y= \frac{I}{p_y(1+(\frac{p_y}{p_x})^{\frac{\delta}{1-\delta}})} \end{array} \right.$

从上式看出我们确实可以得到一个对于任意 $\delta$ 的CES函数的需求函数。但是个人建议，由于CES函数有不同的“形式”（比如说 $U=(\alpha_1x_1^\rho+\alpha_2x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}}$ 也是一种CES函数，所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中，建议重复上述证明步骤，用构造拉格朗日表达式，利用一阶条件来求解需求函数）

当 $\delta \rightarrow ∞$ 的时候，此时为完全互补效用函数，利用消费者为了效用最大化只会选择L型无差异曲线顶点消费的特征来直接求解，就不用构造朗格朗日表达式了。

除此之外，联系弹性和之前讲过的替代弹性（点击链接回顾）的概念，我们不难发现， $\delta=0$ ，即替代弹性 $\sigma=\frac{1}{1-\delta}$ 等于1为分界线。举例说明：当 $\delta=0.5$ 的时候 $x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y}))}$ ，此时商品x花费的收入份额为 $p_xx/I=1/[1+(p_x/p_y)]$ 不是常数， $p_x$ 越高，x的相对价格越高，它所花费的收入份额就越小。换言之，x的需求对其价格的反应就非常敏感，价格的上升减少了x的总花费。不过收入的变化并不影响消费份额。

柯布道格拉斯需求函数
柯布-道格拉斯效用函数的表达式为：
$U(x,y)=x^\alpha y^\beta(\alpha+\beta=1)$
同样可以利用朗格朗日法来算出需求函数，由于过程重复，在此不做赘述，得到如下的结果：
$\left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_x}=\frac{\alpha I}{p_x}\\ y= \frac{\beta}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_y} = \frac{\beta I}{p_y} \end{array} \right.$
由此我们得到一个重要的结论，在柯布道格拉斯效用函数情形下，消费者会花费 $\alpha/(\alpha+\beta)$ 比例的收入去购买商品x，用 $\beta/(\alpha+\beta)$ 的比例去购买y。上述的结论是需要背诵的。

间接效用函数：
所谓间接效用函数，指的是在预算约束条件下，消费者希望得到的最大效用将会间接地取决于购买商品的价格以及消费者的收入。
即
$最大效用 = U[x_1^*(p_1,...,p_n,I),x_2^*(p_1,...,p_n,I),...,x_n^*(p_1,...,p_n,I)]=V(p_1,p_2,..p_n,I)$

间接效用函数才是更加符合大家的理解的，即效用水平最终还是取决于消费者的收入和所购买的商品的价格。就像人们往往关注的是自己的钱包和物价水平，而不是我消费了多少。

利用间接效用函数我们可以得到一个非常重要的结论：一次总付原则
一次总付原则指的是对消费者的一般购买力征税（补贴），比对特定的物品征税（补贴）更好。

从直观上理解，就是对收入税或收入补贴存在时，消费者可以自由决定如何分配他的最终收入。但是，对特定商品征税或补贴，在降低消费者购买力的同时，由于引入了人为的价格，也扭曲了人们的选择。
从图形角度理解：

这个图解成立的关键是，无论是对特定商品征税还是对购买力征税，预算约束线都通过了图中的 $(x_1,y_1)这个点$

举例说明：

在固定比例的情形下，由于消费者的偏好过于刚性，消费税并没有扭曲消费者的选择，所以此时对特定商品征税（补贴）与对购买力征税（补贴）效果是一样的。

支出函数
支出函数：消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下，要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出，即：
$最小支出=E(p_1,p_2,...,p_n,U)$
支出函数和间接效用函数是互为反函数关系，都取决于市场价格，但受到的约束缺不同（一个为收入，一个为效用）。

补偿价格：消费者如何补偿价格变化的，当商品价格变化时，一般都会改变消费者的效用。于是我们会问，消费者应当补偿多少钱才能消除这个影响。在支出函数中，我们把效用视为常数（与后面的补偿性需求曲线结合，留个坑），它为我们估算补偿金额提供了一个直接的方法。

支出函数具有如下的性质：

齐次性：支出函数是所有价格的“一次齐次函数”。
支出函数关于价格单调不降。
支出函数是价格的凹函数（证明见下图）。