如何形成寻找权重平衡二叉树高度的递归？

Question

权重平衡树是一棵二叉树，其中每个节点的编号为。左子树中节点的数量至少是一半，最多是数量的两倍。右子树中的节点数。那么如何形成一个递归来找到这个权重平衡二叉树的高度呢？

Answer 1

只有完整的二叉树才能进行权重平衡。让H(n) 是具有正好n interior 节点的权重平衡二叉树的最大高度（因此，2*n+1 节点）。基本情况

H(0) = 0

很明显。复发

             floor((4*n/3-1)/2)
H(n) = 1 +           max          max(H(l), H(n-1-l))     for all n > 0
           l=ceiling((2*n/3-1)/2)

根据高度的递归以及以下事实，给定n-1 不是根的内部节点，我们必须将它们分布在左侧 (l) 和右侧 (n-1-l) 子树之间，受制于重量平衡标准。 （有2*n 内部和外部节点要分配；最不平衡的分割可能是三分之一/三分之二；具有k 节点的完整二叉树具有(k-1)/2 内部节点。）

让我们推测H(n) 是非递减的并写一个新的递归

H'(0) = 0
H'(n) = 1 + H'(floor(2*n/3-1/2))     for all n > 0.

新递归的要点是，如果它实际上是非递减的，那么H(n) = H'(n)，通过一个涉及简化另一个递归中的最大值的强归纳证明。事实上，不用求解H'(n)，我们可以通过归纳证明它实际上是非递减的，所以这种简化是可以的。

至于解决H'(n)，我会挥手告诉你Akra--Bazzi 适用（或者，如果你想用floor 快速和松散地玩，可以使用Master Theorem Case 2），产生渐近绑定H'(n) = Theta(log n)。