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树状数组学习笔记

约定:C是树状数组,A是原数组,下面以索引 i 为示例进行讲解
 
设计目的:解决区间查询、前缀求和中数组每项之间强依赖、降低数组中每项和其它项的关联,查询和修改时间复杂度达到O(logN)。
 
方法:采用lowbit来达到稀疏目的(这个说法不知道是否准确)。
 
lowbit定义:索引数值按照二进制展开,末尾零的个数的2次幂,比如1100末尾有2个零,则lowbit=2^2=4,0011末尾有0个零,则lowbit=2^0=1,可以看出,奇数末尾都是0个零,所以奇数lowbit都是1
 
lowbit意义:表征数组每个元素所在的索引求和所管辖覆盖的范围,比如lowbit(4)=4,则表示第4个元素的数组元素C(4)=A(4)+A(3)+A(2)+A(1),即包含本身总共是4个元素的和。lowbit(6)=2,则表示第6个元素的数组元素C(6)=A(6)+A(5),即包含本身总共是2个元素的和。如下图所示(窃取船长专利图):
每个元素所管辖的范围是lowbit(i),数组索引区间范围:[i-(lowbit(i)-1)i],即从本身位置往前移动(lowbit(i)-1)个元素,为何要减1?因为要排除本身啊,包含本身元素才有lowbit(i)个,那本身前面不就是少1个了。
每个元素上面最近的管辖自己的元素索引是:i+lowbit(i),为什么?
 
当前索引i我们按照奇偶性进行分析:
 
a、i是奇数
根据上面lowbit的定义,i是奇数时下一个元素一定是偶数,而偶数的lowbit一定>=2,这就说明下一个元素一定覆盖i元素,所以下一个元素就是i+1,而奇数时lowbit(奇数)=1,所以下一个元素的索引 j=i+lowbit(i)
 
b、i是偶数
由于i是偶数,说明i后面的元素一定是奇数,而奇数的lowbit为1,不可能覆盖i元素,所以后移一位不可行,那么要后移几位才可以覆盖到本元素呢?
我们从下面的示意图可以看出来,i元素要能够被后面的元素覆盖,那么管辖范围的值就必须比i所在的管辖范围值大,那大多少呢?从下图可以看出,实际就是大一倍,也就是直接上一层,那么现在问题就变成距离i最近的上层索引怎么计算得到。
 
从下图还可以看出,lowbit越大,管辖范围越大,所处层次越高,所以i后面的元素要能够覆盖i,则后面元素的lowbit必须比i的lowbit大,而lowbit的值的大小和值后面的零的个数是2的幂次方的关系,所以要比当前i的lowbit大,要保证零的个数比lowbit(i)多,那满足最小条件的个数就是比原来多1个零,而这个操作可以通过左移一位lowbit(i)得到,而这个操作的结果就是i+lowbit(i)。
 
如果对这个公式还不理解,那再换另一种思路:我们从i后面一个元素一个元素查找满足覆盖i元素的条件的元素,我们发现从 i+1 到 i+(lowbit(i)-1) 这个范围的结果都不满足新索引值的lowbit值比i的lowbit值大,一直到 i+lowbit(i),由于i的最右部分就是lowbit(i),所以i+lowbit(i)相当于最右部分两个lowbit相加,那么两个最高位1相加就产生进位,这时新值的最右部分的零就比原来lowbit(i)多一个了,也就满足了覆盖i元素的新索引值的要求。
 
实际上i是奇数和偶数都可以很好的用上述方式解释,只是奇数方式的原理更容易懂。
 
现在还有一个问题:我们按照这种方式查找会不会遗漏?
 
因为使用路径 i->i+lowbit(i)->i+lowbit(i)+lowbit(i+lowbit(i)) 查找,这种方式是有索引跨度的,会不会发生i上层的某层元素被遗漏了的情况?其实这个是不会的,为什么?因为树状数组就是树形结构的简单体,层次关系和树形结构一致,不会发生某个元素的父元素的父元素不是自己祖先的情况,也不会遗漏,因为我们从子节点查找所有的父节点都是一层一层往上查找,不会跳过任何父节点。
 
可以参照如下示例理解:

 

 

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