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1.高斯滤波原理

根据数学知识,一维高斯函数可以描述为:

在图像处理中,选定X方向上长度为3的窗口,令δ=1,中心坐标为1,由上述公式,其卷积核(Xa,X,Xb)可以如下计算:

Xa = exp(-1*(0-1)(0-1)/(2*1*1))= 0.606530659712633X = exp(-1*(1-1)(1-1)/(2*1*1))= 1Xb = exp(-1*(2-1)(2-1)/(2*1*1))= 0.606530659712633

可以看到计算过程没有用到常数部分,是因为需要归一化,常数部分可以省略:

Sum = Xa + X + Xb = 2.2130613194252668Xa = Xa/Sum = 0.274068619061197X = X/Sum = 0.451862761877606Xb = Xb/Sum = 0.274068619061197

通过OpenCV验证下上述结果是否正确,OpenCV可以通过函数getGaussianKernel()来实现计算高斯核,运行如下代码,可以发现两者的计算结果是一致的。

Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);cout << kernelX << endl;

2.图像二维卷积

上述的推导过程都是一维的,那么二维情况下的卷积核怎么计算呢,其实很简单,转置并相乘就可以了:

Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);cout << kernelX << endl;Mat kernelY = getGaussianKernel(3, 1);Mat G = kernelX * kernelY.t();cout << G << endl << endl << endl;

运行结果:

在得到卷积核之后,将其放到图像中进行二维卷积,对于原图像中的一个像素P(x,y),有如下卷积过程:

将窗口覆盖的对应位置的像素值相乘后相加,即可得到新图像对应位置的像素值Q(x,y)。当对图像所有的像素值都这样做时,就可以得到滤波后的图像。由于一般情况下总是顺序去卷积的,从左至右,由上而下,所以这个过程就是卷积核的滑动。

当滑动到边界的时候,就会产生一个问题,就是卷积核对应的位置没有像素值。这时可以将边界像素值舍弃(卷积),或者自动填充为0(滤波)。

3.具体实现

在OpenCV中,可以直接使用GaussianBlur()函数实现高斯滤波,但是为了验证和学习高斯滤波算法,也可以自己构建高斯卷积核,使用滤波函数filter2D()进行滤波。其具体实现如下:

#include <iostream>#include <opencv2\opencv.hpp>using namespace cv;using namespace std;int main(){//从文件中读取成灰度图像const char* imagename ="C:\\Data\\imgDemo\\lena.jpg";Mat img = imread(imagename, IMREAD_GRAYSCALE);if (img.empty()){fprintf(stderr,"Can not load image %s\n", imagename);return -1;}//直接高斯滤波Mat dst1;GaussianBlur(img, dst1, Size(3, 3), 1, 1);//自定义高斯滤波器Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);Mat kernelY = getGaussianKernel(3, 1);Mat G = kernelX * kernelY.t();Mat dst2;filter2D(img, dst2, -1, G);//比较两者的结果Mat c;compare(dst1, dst2, c, CMP_EQ);//imshow("原始", img);imshow("高斯滤波1", dst1);imshow("高斯滤波2", dst2);imshow("比较结果", c);waitKey(); return 0;}

可以看到这里分别用GaussianBlur()和filter2D()进行了高斯滤波,并通过compare()函数进行比较。运行结果如下所示,两者的滤波结果基本一致,说明构建的卷积核是正确的。

4.参考资料

1.OpenCV实现二维高斯核GaussianKernel
2.opencv3.2.0图像处理之高斯滤波GaussianBlur API函数
3.OpenCV高斯滤波器详解及代码实现

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