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 1  ARMA时间序列机器特性

  下面介绍一种重要的平稳时间序列——ARMA时间序列。

  ARMA时间序列分为三种:

  AR模型,auto regressiv model

  MA模型,moving average model

  ARMA模型,auto regressive moving average model

   可证ARMA时间序列具有遍历性,因此可以通过它的一个样本估计自协方差函数及自相关函数。

2  ARMA、AR、MA模型的基础知识(略)

3  例:随机模拟下列序列,样本容量10000,其中样本符合均值为零,方差为1的标准正太分布。计算自相关值

  MATLAB代码如下:

%% DEMO1
% 利用模型数据研究随机模拟下序列。计算自相关函数
clc;clear;
rng(\'default\'); % 初始化随机种子,保持随机种子一致
elps = randn(1,10000);  % 产生10000个服从正态分布的随机数
x(1) = 0;  % 赋初始值
for j = 2:10000
    x(j) = 0.8 * x(j-1) + elps(j) - 0.4 * elps(j-1);  % 产生样本点
end
y = (x - mean(x));  % 把数据中心化处理
gama0 = var(x);  % 求样本方差
for j = 1:10
    gama(j) = y(j+1:end)*y(1:end-j)\'/10000;  %求自协方差函数
end
rho = gama/gama0;  %求自相关函数
rho2 = autocorr(x); % 直接利用MATLAB工具箱求自相关函数。
disp([rho(1),rho(2),rho(4),rho(4)]);
disp([rho2(2),rho2(3),rho2(4),rho2(5)])

% 其自相关函数的计算结果基本一致
%     0.5430    0.4296    0.2551    0.2551
%     0.5430    0.4297    0.3396    0.2552

 

4  例:利用MATLAB计算自相关值

%% DEMO2
% 利用模型数据研究随机模拟下序列。计算偏自相关函数
clc;clear;
rng(\'default\'); % 初始化随机种子,保持随机种子一致
elps = randn(1,10000);  % 产生10000个服从正态分布的随机数
x(1) = 0;  % 赋初始值
for j = 2:10000
    x(j) = 0.8 * x(j-1) + elps(j) - 0.4 * elps(j-1);  % 产生样本点
end
y = (x - mean(x));  % 把数据中心化处理
gama0 = var(x);  % 求样本方差
L = 10;
for j = 1:L
    gama(j) = y(j+1:end)*y(1:end-j)\'/10000;  %求自协方差
end
rho = gama/gama0;   % 求自相关系数
f(1,1)=rho(1);
for k = 2:L
    s1 = rho(k);s2=1;  % 计算初始值
    for j = 1:k-1
        s1 = s1-rho(k-j)*f(k-1,j);
        s2 = s2-rho(j)*f(k-1,j);
        f(k,k)=s1/s2;
     end
     for j = 1:k-1
         f(k,j) = f(k-1,j)-f(k,k)*f(k-1,k-j);
     end
end
pcorr=diag(f)\';  %提取偏相关函数
pcorr2=parcorr(x); %直接利用MATLAB工具箱计算偏相关函数
disp([pcorr(1),pcorr(2),pcorr(4),pcorr(4)]);
disp([pcorr2(2),pcorr2(3),pcorr2(4),pcorr2(5)])

% 利用公式和利用MATLAB工具箱计算的偏相关值基本一致
%     0.5430    0.1911    0.0057    0.0057
%     0.5431    0.1913    0.0694    0.0056

 

5  ARMA模型时间序列的建模与预报

步骤:

  第一:首先进行模型的识别与定价,即要判断是AR(p),MA(q),还是ARMA(p,q)模型的类别,并估计阶数p和q。其实这都是归结到模型的定阶问题。

  第二:当定阶后,就要对模型参数进行估计。

  第三:定阶与参数估计完成后,还有对模型进行检验,即要检验残差是否为平稳白噪声。若检验获得通过,则ARMA模型建模完成。

  第四:作为时间序列建模后的一个重要应用,还要讨论ARMA模型的时间序列的预报。

 

6  MATLAB中的GARCH工具箱可以实现时间序列建模的功能。工具箱中的模型ARMAX(R,M,Nx)为ARMA模型函数。下面通过一些实例来进行建模的演示。

 

7  MATLAB中arima模型和arimax模型的区别

  一元时间序列模型:arma和arima,具有差分和不差分的区别

  多元时间序列模型:arimax,时间序列一维以上的不同时间序列,在先生生活中预测往往受很多因素的影响。

 

7.1  arima模型的参数说明:

  7.1.1  如果差分为0的话就是arma模型。

  7.1.2  创建

      模式1:Md1 = arima  % 创建一个0级别的ARIMA模型,也就是arima(0,0,0)

      模式2:Md1 = arima(p,D,q)  % 创建一个非季节性的线性时间序列模型,其中p为AR模型的阶数,D为几阶差分,q为MA模型的阶数

      模式3:Md1 = arima(Name,Value)  % 创建一个线性时间序列模型,采用增加额外选项、值的方式。Name是可选项,Value为选项的值。Name必须用(\' \')这种内部引用方式。对应的格式可以是Name1,Value,Name2,Value2.....

  7.1.3  创建方法:

  方法一:如果直接输入采用模式2的形式Md1 = arima(p,D,q)的方式;Md1 = arima(1,1,1) % 表示一阶差分的AR1,MA1模型。但是这个模型没有任何的参数。是属于首先建立整个模型的结构框架的形式:

      因此:输出的也是一个对象引用的内容:

Md1 =
ARIMA(1,1,1) Model:
--------------------
Distribution: Name = \'Gaussian\'
P: 2
D: 1
Q: 1
Constant: NaN
AR: {NaN} at Lags [1]
SAR: {}
MA: {NaN} at Lags [1]
SMA: {}
Variance: NaN

    方法二:对应Name-Value的变量输入方式。其实这些Name和Value的键和值也是这个对象里面的内容。因此这里把所有的键和值列出来。进行解释一下。

键:\'AR\'

解释:非季节自回归的参数。默认为空NaNs

键:\'ARLags\'

解释:与AR系数相关的正整数滞后向量。默认为1,2

键:\'Beta\'

解释:与AR系数相关的正整数滞后向量。默认[ ];非回归系数回归内容

键:\'Constant\'

解释:线性时间序列中的标量常数,也就是常数项。默认NaN;

键:\'D\'

解释:非负整数表示的非季节性差分滞后算子多项式的次数(非季节性的一体化程度)在线性时间序列。默认0;

键:\'Distribution\'

解释:创新过程的条件概率分布。分布是“高斯”或“T”。或者,将其指定为具有字段名称的数据结构,以存储分布“高斯”或“T”。如果分布是“t”,则结构也需要字段自由度来存储自由度。默认高斯分布;

键:\'MA\'

解释:非季节性移动平均系数对应于可逆多项式细胞载体。当未指定malags,马是一种细胞载体的系数在滞后1,…对非季节性移动平均多项式的次数。当指定的MALags,马是一个相当长的细胞载体与MALags的滞后相关系数。默认NaN;

键:\'MALags\'

解释:与MA系数相关的正整数滞后向量。默认0;

键:\'SAR\'

解释:季节AR模型。

键:\'SARLags\'

解释:。

键:\'SMA\'

解释:。

键:\'SMALags\'

解释:。

键:\'Seasonality\'

解释:

线性时间序列模型中季节性差分滞后算子多项式的非负整数。默认为0;

键:\'Variance\'

解释:模型创新的正标量方差,或支持的条件方差模型对象(例如,GARCH模型对象)。

  7.1.4  建模举例:

  比如有这么一个模型ARIMA(2,1,1)  

  表达式如下:

  

  对应的MATLAB建模公式如下:

  tdist = struct(\'Name\',\'t\',\'DoF\',10);
  model = arima(\'Constant\',0.4,\'AR\',{0.8,-0.3},\'MA\',0.5,\'D\',1,\'Distribution\',tdist,\'Variance\',0.15)

  对应对象里面的内容如下:

model = 

    ARIMA(2,1,1) Model:
    --------------------
    Distribution: Name = \'t\', DoF = 10
               P: 3
               D: 1
               Q: 1
        Constant: 0.4
              AR: {0.8 -0.3} at Lags [1 2]
             SAR: {}
              MA: {0.5} at Lags [1]
             SMA: {}
        Variance: 0.15

   解释:Constant:对应的是常数项:0.4

      AR:对应的是AR模型的滞后项的参数:0.8 -0.3

      MA:对应的是MA模型的参数:0.5

      D:为一阶差分形式

      Distribution:tdist,如果加上分布,这里用一个结构体来说明,这里指的是t分布,有10个自由度。也可以不加这个分布,默认为高斯分布。

      Variance:指的是常数项的方差是0.5,在有些教材中一般都是在公式下面打一个小括号,对应每一个参数的表示方差(0.5)

 

 

 

8  其他相关配套函数

estimate Estimate ARIMA or ARIMAX model parameters
filter Filter disturbances using ARIMA or ARIMAX model
forecast Forecast ARIMA or ARIMAX process
impulse Impulse response function
infer Infer ARIMA or ARIMAX model residuals or conditional variances
print Display parameter estimation results for ARIMA or ARIMAX models
simulate Monte Carlo simulation of ARIMA or ARIMAX models

 

.

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