Principles

自从人类有了语言,我们喜欢给每一个东西起一个适合它的名字,也就是定义
太阳、Yuki、Yuki的宠物小鱼Bong,这种定义方式具体地命名了每个唯一存在的事物
但是有时候,教导主任忘记了眼前的学生是Yuki还是Jane,于是就喊“同学,你下课来一下我这里”;Jane超级喜欢Yuki的宠物小鱼,却也并不说Bong很可爱,而是说“Yuki,你的这些金鱼真可爱!”;Yuki在跟Jane欣赏漫天星瀚的时候,也并不会说那个巴拉巴拉星好亮,而是说“夏天的星星果然是好亮啊”:这时,“同学”“金鱼”和“星星”就不再是指一个事物了,它往往是一类满足相同规则特征的事物的统称
类似地,在一种更抽象的语言——数学中,我们自然更灵活地使用着第二种方式。我们把同样一类具有相同本质的东西提取出来,找到能够最小标识它们的明显属性,来确定这个的定义。同时,我们经过研究,也会发现这类事物还有其他的共同点,得到一系列推论

当然,事物会进行operation:水从ocean蒸发成vapor,被气流带到陆地上空,凝结为rain和snow等落到地面,还会变成vapor,其余部分成为river,最终回归ocean。
在水的operation中,它不管是变成了洁白无瑕的圣雪,还是变成了脏兮兮的污水,不管怎么变,它还是那个water,不多也不少。它做着符合一定规则的运算,最后得到的还是满足定义的元素,所有这些元素组成的集合我们称为一个空间

线性代数研究的是线性空间下的规律,什么是线性空间?就是在某个数域下,“加法”和“数乘”运算满足以下八个规律的元素(向量)的集合:

  1. α+β=β+α,对任意α,β∈V.
  2. (α+β)+γ=α+(β+γ),对任意α,β,γ∈V.
  3. 存在一个元素0∈V,对一切α∈V有α+0=α,元素0称为V的零元素.
  4. 对任一α∈V,都存在β∈V使α+β=0,β称为α的负元素,记为-α.
  5. 对P中单位元1,有1α=α(α∈V).
  6. 对任意k,l∈P,α∈V有(kl)α=k(lα).
  7. 对任意k,l∈P,α∈V有(k+l)α=kα+lα.
  8. 对任意k∈P,α,β∈V有k(α+β)=kα+kβ.

注意:这里的“加法”和“数乘”并不是我们认为的加法和乘法,它可以是任何一种运算;“向量”也不是初中的简单向量,它可能是多维的,也可能它的元素根本不是一个数,而是多项式、向量、矩阵,甚至其他更复杂的东西。

在我看来,我所学习的知识,恰好就是一个线性空间,它们之间有着共同的本质,有着千丝万缕的运算联系。或许两个一加,便是另一个新的知识,靠着努力拾级而上;两个一乘,迸出跃进式的新的火花,量变就成了质变。若是出现了原来没有的新知识,便是通过增加了新的线性无关的元素,从原来的线性子空间张成了一个更大的线性子空间。他们之间闭合而丰富,多元而严谨,足够抽象神秘地诱因着我探索终身。

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