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一、引入

先举一个小栗子。

一数组有 \(n\) 个元素,有 \(m\) 次询问(\(n, m <= 10^5\))。对于每次询问给出 \(l, r\),求出 \([l, r]\)的区间和。

有的同学说,这很简单啊!直接前缀和不就行了吗?确实如此,示例代码如下:

int n, m; cin >> n >> m;
vector< int > sum( n + 10 );
fill( sum.begin(), sum.end(), 0 );
for ( int i = 1, x; i <= n; ++i ) {
	cin >> x;
	sum[ i ] = sum[ i - 1 ] + x;
}
while ( m-- ) {
	int l, r; cin >> l >> r;
	l = min( l, r ); r = max( l, r );
	cout << sum[ r ] - sum[ l - 1 ] << endl;
}

但是,我们稍稍改变一下题目,将求区间和改为求区间最大值,前缀和就行不通了。我们应该如何在 \(O(nlogn)\) 的时间复杂度下求得结果呢?

二、ST 算法介绍

上面的问题也被称为区间最值查询。(\(RMQ\), $Range $ \(Maximum/Minimum\) \(Query\))在静态的区间最值查询问题中,我们可以使用 \(ST\) 算法解决。

首先我们假定需要求解的数组为 \(A=\{ 10, 20, 30, 40, 50, 60 \}\),且为了方便,数组下标从 $ 1 $ 开始。

由于问题可离线,我们可以先预处理,再输出答案。
基于倍增思想,我们可以对于每一个元素构造一个倍增数组,其内容为\(A\)\([i, i+2^k-1]\)的最大值(\(i\in( [1,n]\cap\N), i+2^k-1\leq n, k\in \N\)),如下图所示:

Pre 数组感性理解

以此类推,我们可以对于每个元素构造这么一个数组,即 \(Pre\) 数组为一个二维数组,可定义为:

int pre[ maxn ][ maxlog ]; // maxlog 为上文中 k 的最大值,一般取 25 左右

那么,我们该如何快速求解出 \(pre[i][j]\) 呢?

三、 pre[i][j] 的求法

我们可以将 \(ST\) 算法看作一个 DP。

首先,\(pre[i][j]\) 本身就可以视作一个状态矩阵,存储着对应区间的最值。

接着,其边界条件是 \(pre[i][0]\),即元素本身。这很容易理解,因为 \([i,i]\) 的最值本身就是 \(i\) 嘛。

其次,由于预处理是离线过程,所以对于新的区间最值求解,不会对已求出区间的最值产生影响,故满足 DP 的无后效性原则。

最后,我们来整理状态转移方程。

对于区间 \([i, j]\),显然可以将其二分为 \([i, \frac{i+j}{2}]\)\((\frac{i+j}{2},j)\)。若知道这两个区间的最值 \(p\)\(q\),显然地,整个\([i,j]\)区间的最值必然等于\(max(p,q)\)\(min(p,q)\)。这样问题就转化为求子区间的最值。以此类推直至边界。我们可以结合下图进行理解。

Pre数组的求法

于是我们可以轻松写出代码:

int n, m; cin >> n >> m;
for ( int i = 1; i <= n; ++i ) cin >> pre[ i ][ 0 ];
for ( int j = 1; j <= maxlog; ++j )
	for ( int i = 1; i + ( 1 << j ) - 1 <= n; ++i )
		pre[ i ][ j ] = max(
			pre[ i ][ j - 1 ],	// [i, i+2^(j-1)-1] 即前半段区间 
			pre[ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ][ j - 1 ]	// [i+2^(j-1), i+2^j-1] 即后半段区间 
		); // 因为 2^j = 2 * 2^(j-1),所以可以这么写

四、How to query?

预处理完毕,该如何实现高效查询呢?

要求的区间为 \([l, r]\),区间长度即为 \(r-l+1\)。得知了区间长度,我们就可以在 \(Pre\) 中进行查找。由于区间长度不一定为 $ 2^k, k\in N $,我们仅取一个区间返回结果不一定准确(因为 \(Pre\) 中预处理的区间长度均为 $ 2^k $)所以我们需要找到一个长度,使得其为 $ 2^k $ 且尽量长但不超过 \([l,r]\) 的长度。显然地,这个长度为 \(floor(\log_{2}{(r-l+1)})\)。这个长度可以直接用于 \(Pre\) 且尽量大。所以所取区间为 \([l, l+2^{log_{2}{(r-l+1)}}-1]\),在 \(Pre\) 数组中即为 $ pre[l][log(r-l+1)]$。 对于 \(\complement_{[l, l+2^{log_{2}{(r-l+1)}}-1]}{[l,r]}\),由于 \(RMQ\) 问题的可重复贡献性,我们可以找两段重叠的区间取最值。所以可以从 \(r\) 开始向左找长度同样为 \(floor(\log_{2}{(r-l+1)})\) 的区间,使这个区间右端点为 \(r\)。于是第二个区间为 $ [r-2^{log_{2}{(r-l+1)}}+1,r] $,对应 \(Pre\) 中即为 \(pre[r-(1<<log(r-l+1))+1][log(r-l+1)]\) 。不难发现这两个区间的并集必为 \([l,r]\)。即两个区间最值的 \(max/min\) 一定是整个区间的最值。通过图片进行解释:

并集

于是我们可得出 \(query\) 函数的代码:

inline int query( int l, int r ) {
	int k = log( r - l + 1 );	// 简化代码
	return max(
		pre[ l ][ k ],
		pre[ r - ( 1 << k ) + 1 ][ k ]
	);
}

下面是 \(ST\) 算法的模板。用于解决洛谷 P3865

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define k lg2[r - l + 1]

typedef long long ll;

template<typename T>
inline void read(T &x) {
    T f = 1; x = T(0); char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    x *= f;
}

namespace SparseTable {
    const int MAXN = 2e6 + 10, MAXLOG = 25;
    int n, m, f[MAXN][MAXLOG], lg2[MAXN];

    void init(void) {
        // Read components
        read(n); read(m);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            read(f[i][0]);
        // Sparse Table
        for (int j = 1; j <= MAXLOG; j++)
            for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
                f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1) )][ j - 1 ]);
        // Log2
        lg2[1] = 0; lg2[2] = 1;
        for (int i = 3; i < MAXN; i++)
            lg2[i] = lg2[i / 2] + 1;
    }

    inline int query(const int l, const int r) {
        return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
    }
}

int main(void) {
    int l, r;
    
    SparseTable::init();
    while ( (SparseTable::m) --) {
        read(l); read(r);
        printf("%d\n", SparseTable::query(min(l, r), max(l, r)));
    }
    return 0;
}

六、优点与局限性

\(ST\) 算法有一些其他算法所不具备的优点,比如:

  • 代码量小
  • 常数小,时间复杂度较低

\(ST\) 算法的局限性很大,只能解决静态区间可重复贡献问题,局限性如下:

  • 可扩展性较弱
  • 无法处理在线修改操作

第二点实际上是 \(ST\) 表实际应用中最大的障碍。那么,如何解决在线修改查询问题呢?需要的两大杀器分别是树状数组线段树(包括 zkw 线段树),这两种数据结构将在接下来的几篇文章中介绍。

七、参考资料:

  1. 【朝夕的ACM笔记】数据结构-ST表
  2. OIWiki ST表

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