数学剩余系相关定理:

k0= mq {...}

k1=1+mq{...}

k2=2+mq{...}

....

km-1=m-1+mq{...}

定义k0,k1,k2,k3...km-1叫做模m剩余类.如果在模m的剩余类k0,k1,k2,k3...km-1中各取一个数,例如aiΕki ,i=0,1,2,3...m-1.那么称a0,a1,a2,a3...am-1称为模m的一个完全剩余系。

定理1:设mΕZ+,k0,k1,k2,k3...km-1叫做模m剩余类,则有

  (1)每一个数必包含在某一类Ki里,其中0≤i≤m-1.

  (2)两个整数a,bΕ Ki的充分必要条件是a=b(mod m).

推论1.1:m个整数作成模m的一个完全剩余系的充分必要条件是两两对模m不同余。最常用的完全剩余系是0,2,3,4...m-1,他们称为模m的非负最小完全剩余系。

定理2:b是整数,(a,m)=1,如果a0,a1,a2,a3...am-1是模m的完全剩余系,则aa0+b,aa1+b,...aam-1+b也是完全剩余系。

定理3:设m1,m2Ε Z+,(m1,m2)=1,而x1,x2分别通过模m1,m2的完全剩余系,则m2x1+m1x2通过m1m2的完全剩余系。

推论3.1:设m1,m2Ε Z+, aΕ Z,(a,m1)=1,且X={x1,x2,x3...xm1},Y={y1,y2,y3...ym2}分别是通过模m1,m2的完全剩余系,则R={ax+m1y|xEX,yEY}是模m1m2的完全剩余系。

 

简化剩余系:

定义欧拉函数Φ(a)是定义在正整数集上的函数,Φ(a)等于序列0,1,2,3,...,a-1中与a互素的整数的个数。

于是:因为0,1,2,3,...,m-1中与m互素的数个数是Φ(m)个,所以模m的剩余类中有Φ(m)个与模m互素的剩余类。

定义在Φ(m)个与模m互素的剩余类中各取一个数,称为这Φ(m)个数为模m的一个简化剩余系。

 

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