【问题标题】:Calculate floor(pow(2,n)/10) mod 10 - sum of digits of pow(2,n)计算 floor(pow(2,n)/10) mod 10 - pow(2,n) 的位数之和
【发布时间】:2014-01-22 21:41:15
【问题描述】:

这也是一个与数学相关的问题,但我想用 C++ 实现它......所以,我有一个 2^n 形式的数字,我必须计算它的数字总和(以基数为单位) 10;P)。我的想法是用以下公式计算它:

sum = (2^n mod 10) + (floor(2^n/10) mod 10) + (floor(2^n/100) mod 10) + ...

所有数字:floor(n/floor(log2(10)))

第一项很容易用模幂计算,但我在其他方面遇到了麻烦。 由于n 很大,并且我不想使用我的大整数库,所以我无法在没有模数的情况下计算pow(2,n)。第一项的代码sn-p:

while (n--){
    temp = (temp << 1) % 10;
};

但第二个我不知道。我也不能单独floor他们,因为它会给出'0'(2/10)。有可能实现这一目标吗? (http://www.mathblog.dk/project-euler-16/ 更简单的解决方案。)当然,如果不能用这种方法完成,我会寻找其他方法。 (例如将数字存储在字节数组中,如链接中的注释)。

编辑:感谢现有答案,但我正在寻找某种数学方法来解决它。我刚刚想出了一个想法,它可以在没有 bignum 或 digit-vectors 的情况下实现,我将测试它是否有效。

所以,我有上面的等式求和。但是2^n/10^k 可以写成2^n/2^(log2 10^k),即2^(n-k*log2 10)。然后我取它的小数部分和整数部分,并对整数部分进行模幂运算:2^(n-k*log2 10) = 2^(floor(n-k*log2 10)) * 2^(fract(n-k*log2 10))。在最后一次迭代之后,我还将它与小数模 10 相乘。如果它不起作用或者我在上述想法中的某个地方有误,我会坚持使用向量解决方案并接受答案。

编辑:好的,似乎用非整数模数进行模幂运算是不可能的(?)(或者我还没有找到任何相关信息)。所以,我正在做基于数字/矢量的解决方案。

代码不能完全运行!

它没有给出好的价值:(1390而不是1366):

typedef long double ldb;

ldb mod(ldb x, ldb y){             //accepts doubles
    ldb c(0);
    ldb tempx(x);
    while (tempx > y){
        tempx -= y;
        c++;
    };
    return (x - c*y);
};

int sumofdigs(unsigned short exp2){
    int s = 0;
    int nd = floor((exp2) * (log10(2.0))) + 1;
    int c = 0;
    while (true){
        ldb temp = 1.0;
        int expInt = floor(exp2 - c * log2((ldb)10.0));
        ldb expFrac = exp2 - c * log2((ldb)10.0) - expInt;
        while (expInt>0){
           temp = mod(temp * 2.0, 10.0 / pow(2.0, expFrac)); //modulo with non integer b:
                //floor(a*b) mod m = (floor(a mod (m/b)) * b) mod m, but can't code it
            expInt--;
        };
        ldb r = pow(2.0, expFrac);
        temp = (temp * r);
        temp = mod(temp,10.0);
        s += floor(temp);
        c++;
        if (c == nd) break;
    };
    return s;
};

【问题讨论】:

  • “因为n 很大”的评论让我印象深刻——它正在换行,直到我得到答案后才意识到这就是你所追求的。哦!

标签: c++ math modular-arithmetic


【解决方案1】:

您可以使用其他问题 (C++ get each digit in int) 中提到的一些技术创建一个数字向量,然后迭代该向量并将所有内容相加。

【讨论】:

    【解决方案2】:

    在您提到的链接中,您得到的答案对于 n

    如果您必须自己编写所有程序,那么您需要知道如何计算二进制除法并处理非常大的数字。如果您不必编写所有程序,请获取一个用于大整数的库并应用链接中显示的算法:

    BigNumber big_number;
    big_number = 1;
    big_number <<= n;
    int result = 0;
    while(big_number != 0) {
        result += big_number % 10;
        big_number /= 10;
    }
    return result;
    

    现在,实现 BigNumber 会很有趣。从算法中我们看到需要赋值、左移、不等、取模和除法。 BigNumber 类可以是完全动态的并分配整数缓冲区以使所述大数适合。它也可以用固定大小编写(例如作为模板)。但是如果你没有时间,也许这个就可以了:

    https://mattmccutchen.net/bigint/

    【讨论】:

    • 感谢您的链接,但我已经有一个 bigint 库(boost 的)。我只是尝试在没有任何先行的情况下解决它。由于它来自projecteuler.net,(我认为)必须有另一种方法来使用(主要)数学来解决它。 :D
    • 一个月前我已经开始实现一个 bignum 类,但是在我读到它需要数年才能做出一个运行良好的类之后,我下载了一个......接受了这个,并带有大 int 库很容易解决。还尝试做基于矢量的解决方案。 +1
    • 我很久以前就研究过了。就我而言,我只想要二进制数的第一个十进制数字。除了计算所有数字之外别无他法,这在某种程度上是可悲的,但事实就是这样......
    【解决方案3】:

    我在 JavaScript 中实现了这个,用于查找 2^1000 的数字总和:(查看工作 CodePen

    function calculate(){
      var num = 0, totalDigits = 1,exponent =0,sum=0,i=0,temp=0, carry;  
      var arr = ['1'];
    
      //Logic to implement how we multiply in daily life using carry forward method
      while(exponent<1000){ //Mention the power
        carry=0;
        for(var j=arr.length-1;j>=0;j--){
          temp = arr[j]*2 + carry;
          arr[j]= temp%10;
          carry = parseInt(temp/10);
          if(carry && !j){
            arr = [carry].concat(arr); //if the last nth digit multiplication with 2 yields a carry, increase the space!
          }
        }
        exponent++;
      }
      
      for(var i=0;i<arr.length;i++){
        sum = sum+parseInt(arr[i]);
      }
      document.getElementById('result').value = sum; //In my HTML code, I am using result textbox with id as 'result'
      //console.log(arr);
      //console.log(sum);
    }

    【讨论】: