计算最小二乘拟合的置信带

Question

我有一个问题困扰了我好几天。

如何计算拟合的 (95%) 置信带？

为数据拟合曲线是每个物理学家的日常工作——所以我认为这应该在某个地方实现——但我找不到实现这一点的方法，我也不知道如何在数学上做到这一点。

我发现的唯一东西是seaborn，它对线性最小二乘做得很好。

import numpy as np                                                                                                                                                                                                                         
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns
import pandas as pd

x = np.linspace(0,10)
y = 3*np.random.randn(50) + x

data = {'x':x, 'y':y}
frame = pd.DataFrame(data, columns=['x', 'y'])
sns.lmplot('x', 'y', frame, ci=95)

plt.savefig("confidence_band.pdf")

但这只是线性最小二乘法。当我想适合时，例如像 这样的饱和曲线，我完蛋了。

当然，我可以根据scipy.optimize.curve_fit 等最小二乘法的标准误差计算 t 分布，但这不是我要寻找的。​​p>

感谢您的帮助！！

Answer 1

kmpfit 的confidence_band() 计算非线性最小二乘的置信区间。这里是你的饱和曲线：

from pylab import *
from kapteyn import kmpfit

def model(p, x):
  a, b = p
  return a*(1-np.exp(b*x))

x = np.linspace(0, 10, 100)
y = .1*np.random.randn(x.size) + model([1, -.4], x)

fit = kmpfit.simplefit(model, [.1, -.1], x, y)
a, b = fit.params
dfdp = [1-np.exp(b*x), -a*x*np.exp(b*x)]
yhat, upper, lower = fit.confidence_band(x, dfdp, 0.95, model)

scatter(x, y, marker='.', color='#0000ba')
for i, l in enumerate((upper, lower, yhat)):
  plot(x, l, c='g' if i == 2 else 'r', lw=2)
savefig('kmpfit confidence bands.png', bbox_inches='tight')

dfdp 是模型 f = a*(1-e^(b*x)) 对每个参数 p（即 a 和 b）的偏导数 ∂f/∂p，见我的answer 对背景链接的类似问题。这里是输出：

Answer 2

您可以使用StatsModels 模块轻松实现此目的。

另见this example 和this answer。

以下是您问题的答案：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.stats.outliers_influence import summary_table

x = np.linspace(0,10)
y = 3*np.random.randn(50) + x
X = sm.add_constant(x)
res = sm.OLS(y, X).fit()

st, data, ss2 = summary_table(res, alpha=0.05)
fittedvalues = data[:,2]
predict_mean_se  = data[:,3]
predict_mean_ci_low, predict_mean_ci_upp = data[:,4:6].T
predict_ci_low, predict_ci_upp = data[:,6:8].T

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.plot(x, y, 'o', label="data")
ax.plot(X, fittedvalues, 'r-', label='OLS')
ax.plot(X, predict_ci_low, 'b--')
ax.plot(X, predict_ci_upp, 'b--')
ax.plot(X, predict_mean_ci_low, 'g--')
ax.plot(X, predict_mean_ci_upp, 'g--')
ax.legend(loc='best');
plt.show()